Absolut w teorii względności

A.Einstein wielokrotnie publicznie ubolewał nad tym ,że jego teorię zjawisk występujących podczas ruchu ciał o prędkościach zbliżonych do prędkości c, środki masowego przekazu związały wyłącznie i głównie z filozofią relatywizmu, to znaczy powszechnej względności wszystkiego i wszystkich.W wywiadzie dla nowojorskiego dziennika “New York Times” 28.XII.1919 r. powiedział, że jego teoria nie relatywizuje świata, lecz odsłania świat wielkości i zjawisk absolutnych, przedtem nieznanych fizyce.Ten prawdziwy fakt zaistniał jednak dzięki pracy H.Minkowskiego, gdyż to jego idea 4-przestrzeni(nazwanej później “przestrzenią Minkowskiego”) z działającą w niej grupą przekształceń Lorentza, pozwala ów absolut w teorii względności odsłonić i rozwinąć w piękną strukturę matematyczną o różnorodnych konsekwencjach dla fizyki doświadczalnej.W modelu geometrycznym Minkowskiego STW przekształcenie współrzędnych zdarzenia t,x,y,z na współrzędne t^’ , x^’ , y^’ , z^’ , ma charakter obrotu hiperbolicznego ,który w podprzestrzeni euklidesowej 2-wymiarowej był pokazany na rys 1 poprzedniego wpisu [1],a który polega na obrocie osi t (czasowej)o kąt j , a osi x-ów na obrocie o kąt -j. Odpowiada jemu, układ równań podany po raz pierwszy przez H.Lorentza: rysunek

Kiedy v jest silnie mniejsze od c, to związki Lorentza przechodzą w granicy, w znane związki transformacji Galileusza funkcjonującej w mechanice Newtona. Ta relacja czysto formalna, nie upoważnia jednak do zacierania istotnych różnic ontycznych pomiędzy znaczeniami pojęć STW i znaczeniami pojęć mechaniki G-H.Świat prędkości dalekich od prędkości c jest radykalnie inny od świata prędkości przyświetlnych.H.Minkowski, w swojej 4 wymiarowej przestrzeni wprowadza wielkości geometryczne zwane czterowektorami, które mają doniosłe znaczenie w einsteinowskiej STW.Pierwszą taką wielkością jest czterowektor świata dwóch zdarzeń AB, którego moduł (wartość ) jest określony jako interwał czasoprzestrzenny i zdefiniowany poniższym równaniem: rysunek

Często interwałem czasoprzestrzennym nazywa się kwadrat tego wyrażenia.W 3 geometrii Euklidesa jest to równanie powierzchni kuli o środku w O, a w 4 geometrii Minkowskiego równanie dwóch powierzchni obrotowych hiperboloid. rysunek

W przecięciu płaszczyzną [t,x] otrzymujemy dwie pary hiperbol o równaniach podanych na rysunek

Położenie hiperbol jest takie ,że linie świata promienia świetlnego są ich asymptotami. Hiperbole te służą do skalowania osi układów, a tym samym do wyznaczania transformat Lorentza dla składowych przestrzennych i czasowej.Łatwo wykazać ,że moduł wektora świata (albo jego długość) czyli interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.Jest to pierwsza wielkość absolutna w przestrzeni Minkowskiego.Interwał czasoprzestrzeni nie zależy od układu odniesienia inercjalnego.Jest niezmiennikiem transformacji LorentzaDla przekroju [t,x] przestrzeni Minkowskiego interwał czasoprzestrzenny ma postaćs² = t² – x²i przypomina twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego. Różnica jest tylko w znaku. Pierwiastek z wyrażeniat² + x²w geometrii Euklidesa jest odległością dwóch punktów różnych AB i często zwany jest metryką przestrzeni.Metryka w przestrzeni Minkowskiego różni się znakiem od metryki w przestrzeni Euklidesa. Minkowski używał nazwy dla swojej przestrzeni , – pseudo euklidesowa.Kolejnym czterowektorem w przestrzeni Minkowskiego jest prędkość. Jest to wektor styczny do linii świata cząstki w danym punkcie i jego cztery składowe są rysunek

gdzie d(tau) - czas własny i analogicznie dla współrzędnych tego czterowektora na osiach y,z. Czterowektor prędkości nie zależy od układu odniesienia inercjalnego. Jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Jeżeli składowe czterowektora prędkości pomnożymy przez m₀ czyli przez masę cząstki zmierzoną w układzie O, to otrzymamy czterowektor “energii-pędu”. rysunek

Rysunek powyższy przedstawia tę operację dla dwóch składowych czterowektora “energii- pędu”.Natomiast cztery składowe wektrora “energii-pędu” mają postać pokazaną w wierszy 1 poniższego zestawu wzorów relatywistyki uzyskanych przez Minkowskiego na drodze zypełnie innej od tej po jakiej szedł Einstein. rysunek

Pierwsza składowa ( w wierszu nr.1.)ma wymiar masy i po podstawieniu za pochodną wartości wcześniej wyznaczonej i oznaczeniu przez m dostajemy wzór 2,czyli tzw. masę relatywistyczną. W STW jest ona równoważna energii co pokazuje wzór 3.Ponieważ c = 1 w tym wykładzie, więc możemy pomnożyć prawą stronę przez cE2 uzyskując związek 4.Związek ten pozwala obliczyć energię całkowitą cząstki w układach poruszających się z prędkością względną v(v <,= c).Natomiast iloczyn masy spoczynkowej (czyli masy wyznaczonej w układzie spoczywającym O) i kwadratu prędkości światła cnosi nazwę energii spoczynkowej cząstki.Oczywiście zachodzi logiczny związek:Energia kinetyczna = energia całkowita – energia spoczynkowaPozostałe trzy składowe przestrzenne “energii-pędu” z wiersza nr.1,są składowymi pędu relatywistycznego i można je wyliczyć wykorzystując wzory na pochodne współrzędnych względem czasu własnego. Na przykład postać ostateczną dla współrzędnej na osi X podaje wzór nr.6 (brak w liczniku v !)Wszystkie cztery składowe “energii-pędu” są zależne od układu odniesienia ,natomiast absolutny jest czterowektor “energii-pędu”.Czterowektor “energii-pędu jest niezależny od układu odniesienia. Jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.Podobnie biegnie rozumowanie H.Minkowskiego w odniesieniu do przyspieszenia cząstki i siły wywołującej to przyspieszenie. W STW mamy więc czterowektor przyspieszenia i czterowektor siły zwany siłą Minkowskiego.Wszystkie wielkości będące czterowektorami są niezmiennikami(inwariantami) transformacji Lorentza.Są relatywistycznie niezmiennicze,są niezależne od ruchu względnego układu odniesienia inercjalnego. Są to wielkości absolutne w szczególnej teorii względności Lorentza-Einsteina-Minkowskiego.W zakończeniu trochę uwag historyczno-ontologicznych.Wykład H.Minkowskiego był opublikowany w roku 1909 [2].Przy pierwszym kontakcie z tekstem, A.Einstein nie był nim zainteresowany. Sytuacja była wzajemna,gdyż Minkowski, który był krótko profesorem uczelni w Zurichu, na której studiował Einstein zapytany o niego,odparł krótko:" Einstein,to student bardzo leniwy".Po latach Einstein powiedział jednak do V.Bargmanna : “wtedy wydawało mi się, iż algebra czterowektorów i tensorów to zbędna uczoność” [3].Dopiero pod wpływem swego przyjaciela inż.mechanika M.Besso [3] postanowił przestudiować tekst i zaraz potem zaczął pobierać intensywne “korepetycje” u wybitnego matematyka M.Grossmana i już w roku 1913 ukazuje się ich wspólna praca ,w której idee geometrii Riemanna umożliwiają im dokonanie pierwszych prób uogólnienia geometrii Minkowskiego z uwzględnieniem pola grawitacyjnego.Ale impuls do stworzenia OTW pochodził z genialnej pracy Minkowskiego, której autor nie dożył momentu ukazania się jej w druku.Minkowski, w pracy, której główne idee matematyczne przedstawiłem w dwóch postach kolejnych, wykazuje jako matematyk, niezwykłą intuicję fizyczną oraz odsłania przed czytelnikiem oryginalną filozofię przyrody. Dzisiaj, podobnym darem wykazuje się matematyk Roger Penrose.Wbrew obecnie modnej tendencji przecinania związków STW z propagacją światła i prędkością światła, H.Minkowski wielokrotnie podnosi podstawową rolę światła i tajemniczy wpływ matematycznej struktury promienia świetlnego na możliwość budowy nie tylko nowej mechaniki, lecz budowy globalnej wizji świata.Pisze ,że jedynym bodźcem przyjęcia grupy symetrii Lorentza (i szerszej grupy- Poincarego)jest ta okoliczność,” że równania różniczkowe opisujące rozchodzenie się światła w próżni posiadają właśnie symetrie tych grup”.Niezwykle konsekwentnie wprowadza pojęcie świata absolutnego i dowodzi technicznie, drobiazgowo ,że wszystkie zjawiska i wielkości względne pojawiają się jako “rzuty tego świata absolutnego na przestrzeń i czas wzięte osobno”.Idealizm transcendentalny H.Minkowskiego w pracy rozważanej, nieoczekiwanie wyłania się, nie z rozważań metafizycznych, lecz z formalizmu matematycznego.W fizyce, dzięki geniuszowi H.Minkowskiego pojawił się świat absolutu, a Einstein był tym, który intuicyjnie pojął ten fakt i następnie ów świat absolutu odsłonił w stopniu jeszcze silniejszym.Zrozumiałe ,że Felix Klein w mowie pośmiertnej poświęconej przedwcześnie zmarłemu Hermanowi Minkowskiemu powie bez wahania i z całą mocą: “był dla nas, darem niebios”. Literatura [1] www.autodafe.salon24.pl/96558,index.html[2] H.Minkowski,Raum und Zeit, Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Leipzig 1909[3]A.Pais,The Science And The Life of Albert Einstein,N.Y.1982,s.148 (istnieje polskie tłumaczenie ,Warszawa,2001)