Hermana Minkowskiego geometryczny model STW

Szczególna teoria względności ma różne modele prezentacji. Historyczny model A.Einsteina nosi potoczną nazwę ”prętów i zegarów”.21 sierpnia 1908 roku ,w Kolonii,na posiedzeniu dorocznym Niemieckiego Towarzystwa Przyrodników i Lekarzy profesor matematyki uniwersytetu w Getyndze Herman Minkowski wygłosił odczyt zatytułowany: “Czas i przestrzeń”, w którym przedstawił geometryczny model fizyki czasoprzestrzeni równoważny w każdym szczególe z STW w wersji einsteinowskiej, ale zawierający w sobie (jak później spostrzegł to A.Einsteini i rozwinął ów “kiełek”) ścieżkę do ogólnej teorii względności.Po prostu, idee Minkowskiego były oderwane od ciał fizycznych (prętów i zegarów) ,konstruowały obiekty bardziej abstrakcyjne i bardziej ogólne ,które znakomicie wiązały się z rewolucyjną pod dziś dzień, ideą Hilberta światów rozmaitości różniczkowych.Model Minkowskiego STW, często zwany “diagramami Minkowskiego” jest dzisiaj powszechnie stosowany w wykładach dydaktycznych STW, chociaż w wersji zmodyfikowanej tzw. “radiotelegraficzna postać STW” autorstwa Hermana Bondiego (1956).Jeśli popatrzysz się na kartkę papieru, to każdy punkt tej płaszczyzny możesz uznać za geometryczny model “zdarzenia” fizycznego.Wprowadzając dwie prostopadłe osie (ujemne półosie możemy pominąć), a na nich jednostki odległości(pozioma, x ) i czasu(pionowa, t) uzyskasz tym samym współrzędne każdego zdarzenia: czasową i przestrzenną. Jeśli jednostką na osi x jest 1m, to na osi t ,za jednostkę miary przyjmujemy- czas przebycia 1 metra przez sygnał świetlny .Zauważmy od razu ,że stosunek tych miar daje wartość c.Skonstruowana dwuwymiarowa czasoprzestrzeń zdarzeń ma szereg zaskakujący własności[rys.1]. rysunek

Każde zdarzenie jest w ruchu ! Czas upływa ,więc punkty reprezentujące zdarzenia fizyczne przesuwają się pionowo do góry.[1,a] Linie równoległe do osi OX reprezentują zbiór zdarzeń równoczesnych[1,b] Jeżeli zachodzi ruch własny z prędkością v to punkty poruszają się po liniach nachylonych pod kątem ostrym do do osi OX. Kąt nachylenia jest miarą prędkości. Dla fotonu ten kąt wynosi 45^o [1,e] Linie pokazujące historię dowolnego zdarzenia nazwane zostały przez Minkowskiego liniami świata.Linie świata proste reprezentują ruch jednostajny ,krzywe- ruch zmnienny[1,d].Teraz do tego modelu wprowadzamy postulat Alberta Einsteina:Prędkość światła w próżni c jest niezależna od układu odniesienia inercjalnego(ruchu jednostajnego prostoliniowego obserwatora) oraz maksymalna w przyrodzie dla obiektu fizycznego.Na mocy tego postulatu wynikają następujące ,oczywiste fakty:Położenie linii świata fotonu na diagramie Minkowskiego jest niezmienne.Jeżeli mamy dwa układy odniesienia : tOx (nieruchomy) oraz t^, (prim) poruszający się względem O z prędkością stałą v, to pozycja linii świata fotonu ulega zmianie [rsy.1,f], co byłoby niezgodne z pierwszym postulatem A.E. Aby utrzymać ten postulat wystarczy obrócić oś OX o kąt –fi .W konsekwencji dla obserwatora O linie jednoczesności zdarzeń w O^, (prim) nie porywają się z liniami jednoczesności tych samych zdarzeń w układzie O. Czas w układzie “primowanym “ dla obserwatora z układu nieprimowanego płynie inaczej ! Nie tylko czas płynie inaczej w układzie O^,(prim) ale także zmianie ulegają jednostki długości! Oczywiście stwierdzenia VI oraz VII jak na razie, mają charakter jakościowy. Rachunki pojawią się później ,po wprowadzeniu transformacji Lorentza i zdefiniowaniu tzw. metryki, tej dwuwymiarowej czasoprzestrzeni . W modelu Minkowskiego, względność czasu i osobno-przestrzeni otrzymujemy, jako wynik kombinacji geometrii i fizyki.W modelu A.Einsteina, względność czasu i przestrzeni otrzymujemy wyłącznie na gruncie fizyki. Wracamy do diagramów Minkowskiego, by pokazać naocznie , że pojęcie równoczesności zdarzeń jest względne wyłącznie na mocy geometrii tej czasoprzestrzeni. rysunek

Na rys.2 , AB- to para zdarzeń, które są równoczesne w układzie O^, (primowanym). Dowodzi tego linia kreskowana będąca przedłużeniem odcinka AB do przecięcia z osią t^,.Natomiast w układzie podwójnie “primowanym” t^,, Ox^,, zdarzenie B jest wcześniejsze od zdarzenia A.W układzie zaś nieruchomym tOx ,jest odwrotnie : zdarzenie A jest wcześniejsze od zdarzenia B !Równoczesność zdarzeń fizycznych jest względna.Rys.3 ,na którym układ współrzędnych dopełniono o ruchy w lewo oraz o dolną część “przeszłości” otwiera drogę do zrozumienia tego faktu:Model czasoprzestrzeni Minkowskiego wykazuje rozwarstwienie na dwa obszary: kauzalne, tam gdzie obowiązuje przyczynowość i obszar obojętny względem tego związku fizycznego.Wewnątrz tych dwóch trójkątów utworzonych przez dwie linie świata fotonu, mamy absolutną przeszłość(E) i absolutną przyszłość ( C) oraz “gdziekolwiek indziej” (D).I tak :pary zdarzeń OC, EO mogą pozostawać w związku przyczynowym dowolnym oddziaływaniem pary zdarzeń OB., FO mogą pozostawać w związku przyczynowym w oddziaływaniu tylko polem elektromagnetycznym para OD nie może być w relacji przyczynowej gdyż przekaz działania musiałby mieć prędkość większą od prędkości c. Jeżeli dopuścimy do głosu współrzędną przestrzenną drugą y, to otrzymamytrójwymiarowy stożek świetlny z absolutną przeszłością i absolutną przyszłością. Wszystkie ruchy fizycznych ciał mogą się odbywać (i odbywają się ) tylko wewnątrz domkniętego obszaru stożka świetlnego. Stożek ten,jest trójwymiarowym przekrojem czterowymiarowej czasoprzestrzeni, areny zjawisk dostępnych na razie człowiekowi. Każdy fizyczny, ruchomy obiekt ma “na nosie”, taką absolutną przyszłościową część tego stożka, która niby snop światła, wycina dopuszczalną dla niego część czterowymiarowej czasoprzestrzeni.Czasoprzestrzeń dostępna naszym eksperymentom ma strukturę stożkową.Geometria H.Minkowskiego rzuciła nieoczekiwanie nowe światło na szczególną teorię względności w wersji A.Einsteina.