W poprzedniej notce przybliżyłem czytelnikom historię ewolucji teorii mnogości i jej prób uporania się ż brakiem precyzyjnej definicji. ZFC i inne systemy aksjomatyczne tak skutecznie zawładnęły wyobraźnią matematyków, że kiedy szukałem materiałów źródłowych na ten temat opublikowanych w ostatnich kilkudziesięciu latach to oprócz opracowań o charakterze ogólnym, niczego nie znalazłem. Na dzień dzisiejszy temat jest ziemią niczyją. Przyjęto na „wiarę” że sformułowanie definicji zbioru jest niemożliwe i zaliczono pojęcie do pojęć „pierwotnych”. Ma to swoje uzasadnienie – gotowy system aksjomatów jest praktyczny i wygodny w procesie udowadniania twierdzeń a naiwna teoria mnogości ( gdzie taka definicja byłaby ważna i potrzebna) ma ograniczony zasięg stosowania. Pamiętajcie też że prezentuję pracę autorską która jeszcze nie została opublikowana a więc ciągle nie została formalnie recenzowana.
Cześć 1 - https://www.salon24.pl/u/arkadiusz/1417519,teoria-mnogosci-historia-i-zalozenia
Czym jest pojęcie pierwotne?
Pojęcie pierwotne (ang, primitive notion) to coś co dostajemy od natury, powiązane z naszą biologią, sposobem odbierania i przetwarzania bodźców z otoczenia. W odniesieniu do pojęcia zbioru, analizując, nawet pobieżnie, zachowania kręgowców i ludzi możemy powiedzieć że jest to trafna diagnoza.
Tak więc definicja zbioru musi uwzględniać biologiczny aspekt pochodzenia pojęcia zbioru. Pamiętać przy tym trzeba że wszelkie nasze konstrukcje myślowe (a do takich należy zbiór) są abstrakcyjne a więc stanowią opis danego zjawiska możliwie o dużym stopniu ogólności (uproszczenia). Dodatkową trudnością jest to że matematyce ciągle nie po drodze z biologią, Przyczyn takiego stanu rzeczy należy szukać w nierównomiernym rozwoju obu dziedzin. Dynamiczny rozwój nauk biologicznych możemy datować od opublikowania podstaw Teorii Ewolucji, w przypadku matematyki analogiczny rozwój możemy datować od czasów renesansu. Awersja matematyków do biologii ma więc charakter w dużej mierze psychologiczny, choć w ostatnich latach to zaczyna się zmieniać ( np.: proces identyfikacji twarzy przez ludzki umysł można opisać stosując n-wymiarowe geometrie).
Definicja zbioru musi opisywać każdy możliwy zbiór do utworzenia – zbiory punktów i liczbowe są tylko jednym z rodzajów. Jak się przekonamy pojęcie zbioru można sformalizować w każdym aspekcie naszego życia - jest to uniwersalna formuła opisu naszej rzeczywistości.
Już na samym początku prac przy pierwszych próbach opisu, przekonałem się że bezwzględnie konieczne jest ścisłe zdefiniowanie każdego użytego pojęcia. W normalnej praktyce tego się nie robi, czytelnik naukowy wymaga raczej zwięzłości i definicje pojęć które są zdefiniowane już wcześniej lub rozumiane w matematyce w sposób intuicyjny są pomijane. W tym konkretnym przypadku każda niejednoznaczność lub wielość definicji była bardzo istotna – budując definicję zbioru poruszamy się po fundamentach matematyki, gdzie co rusz napotykamy twierdzenia i pojęcia rekurencyjne (odwołujące się do siebie samych) lub kilka różniących się od siebie definicji tego samego pojęcia. Poniżej opiszę na przedstawię interpretację matematyczną używanych tu pojęć tak by usunąć wszelkie niejednoznaczności.
Abstrakcja czyli coś czego nie ma
W języku potocznym oznacza coś oderwanego od fizycznej rzeczywistości. W sztuce wszelkie przedstawienia nie mające formy ilustracyjnej. W psychologii proces uczenia się – jedna z operacji umysłowych. Definicje dla filozofii, matematyki i programowania obiektowego są tu najbardziej spójne i na nich też się oprzemy próbując stworzyć spójną dla wszystkich dziedzin definicję.
Źródłosłów sięga czasów greckich i oznacza dosłownie oderwanie. Tematem abstrakcji zajmowali się wielcy filozofowie : Arystoteles i Tomasz z Akwinu. W czasach bliższych współczesności John Locke i George Berkeley. Ten ostatni stwierdził zresztą że abstrakcja nie istnieje a samo pojęcie prowadzi do sprzeczności.
Abstrakcja to inaczej uproszczenie, uogólnienie. Mając obiekt o określonych cechach wybieramy z nich takie które są wspólne dla grupy obiektów, odrzucając pozostałe. To definicja najczęściej spotykana, ciągle jednak niepełna. Cierpi ona na przypadłość typową dla matematyki – rozpatruje obiekty statyczne, zatrzymane w czasie . W większości przypadków takie podejście zdaje egzamin i jest racjonalne. Tu dostajemy też ukryte dodatkowe założenie : abstrakcja powinna być celowa – służyć znalezieniu cech wspólnych które wyłonią grupę obiektów o podobnych własnościach. Dociekliwy czytelnik zarzuci mi że w matematyce istnieją też abstrakcje o dynamicznym charakterze. Jest to jednak wąski margines w porównaniu do ogromu zagadnień i działów matematyki. Generalnie przyjmuje się że takie statyczne ujęcie sprzyja precyzji i tworzeniu formalizmów.
Analizując zagadnienie doszedłem do wniosku że abstrakcja powinna być przedstawiona jako proces wyboru. Istotne jest tu określenie proces – coś dziejącego się w skończonym czasie. Cel określa jakie cechy obiektu podlegają wyborowi. Taką abstrakcję nazywam pierwotną – mając dany obiekt (fizyczny lub matematyczny ) dokonujemy procesu znalezienia cech wspólnych dla szerszej grupy takich obiektów mając za cel znalezienie ich bardziej ogólnej formy. Abstrakcją wtórną nazywam proces odwrotny : to sama abstrakcja definiuje cel, który wcześniej był nieokreślony. Najczęściej jest to przeniesienie wybranych cech jednego obiektu na inny obiekt (izomorfizm). Obie formy abstrakcji wzajemnie się uzupełniają. Prehistoryczny myśliwy polujący na zwierzynę stosował uogólnienie dzieląc zwierzęta na użyteczne i nieużyteczne , jadalne i niejadalne. Celem było zdobycie pożywienia i futer. Tu możemy mówić o abstrakcji pierwotnej, jej cel jest z góry określony poprzez samo działanie.
Henry Ford ( a dokładniej jeden z jego pracowników) obserwował proces obróbki mięsa w rzeźni. Każdy z pracowników wykonywał tu jedną powtarzalną czynność, razem zbiór tych czynności tworzył proces produkcji który przedtem wykonywał jeden pracownik. W procesie abstrakcji pracownik Forda wyodrębnił tą jedną cechę i została ona przeniesiona na proces produkcji samochodów – powstała produkcja taśmowa samochodów. Wcześniej jeżeli ktoś próbował by znajdować cechy wspólne dla obróbki mięsa i produkcji samochodów, naraził by się co najmniej na śmieszność. Takie niecodzienne i nieoczywiste uogólnienia i przeniesienia cech na inne obiekty lub procesy nazywam abstrakcją wtórną. W tym przypadku wyodrębniona funkcja lub cecha, tworzy cel który nie jest z góry znany. Dodam tylko że to rozróżnienie jest mojego autorstwa ( nie szukajcie tego w podręcznikach do matematyki).
Precyzyjniej należało by tu pisać o klasycznym uogólnieniu dla abstrakcji pierwotnej i analogicznym modelowaniu ( stosowanym w inżynierii lub matematyce stosowanej) lub w tym konkretnym przypadku z Fordem – izomorficzności struktur.
W matematyce spotykamy się z abstrakcją praktycznie wszędzie. Od teorii mnogości, poprzez teorię kategorii, teorię klas, struktury algebraiczne, modelowanie – pojęcie abstrakcji leży u fundamentów matematyki.
Relacja i cecha (atrybut, własności)
Innym fundamentalnym pojęciem jest relacja. Mamy tu do czynienia z precyzyjną wiedzą – nam wystarczy uproszczona definicja:
Relacja to sposób określania powiązań między obiektami. Może dotyczyć dowolnej liczby elementów i opisywać ich wzajemne związki, np. „bycie większym”, „bycie podzielnym przez” czy „bycie członkiem tej samej grupy”.
Relacją jest również każda funkcja - szczególny przypadek relacji, gdzie każdemu elementowi z pierwszego zbioru odpowiada dokładnie jeden element z drugiego zbioru.
Relacje dzielę na trzy podstawowe kategorie:
- Wewnętrzne – opisujące wzajemne relacje elementów z zbiorze
- Zewnętrzne – opisujące relacje pomiędzy zbiorem a innymi zbiorami
- Emocjonalne – definiujące stosunek konstruktora zbioru do danego obiektu.
W matematyce ostatnia kategoria nie występuje.
Innym pojęciem gdzie dysponujemy precyzyjną definicją jest cecha. W matematyce nie używa się terminu cecha w sensie formalnym, a raczej mówi się o własnościach czy atrybutach obiektów. Dla obiektów fizycznych to mierzalna właściwość obiektu. W matematyce to dowolna właściwość, którą można przypisać obiektom matematycznym. Różnica między relacją a cechą sprowadza się więc przede wszystkim do tego że cecha (atrybut. własność) opowiada o jednym obiekcie ( choć też może być ich więcej), relacja wymaga przynajmniej dwóch obiektów.
Liczność jako pojęcie pierwotne
Ostatnim pojęciem którego znaczenie muszę wyjaśnić jest liczność (wielość). Otóż nie mówimy tu tylko o liczności w kategoriach teorii mnogości gdzie nazywamy ją mocą zbioru i wyrażamy przy pomocy liczby kardynalnej. Otóż pojęcie liczności zgodnie z moją interpretacją jest pojęciem pierwotnym. W tym ujęciu liczność jest czymś co istnieje niezależnie od jakiejkolwiek formalnej konstrukcji.
Wyobraźmy sobie że gdzieś w bardzo dalekiej galaktyce istnieje zagubiona wśród miliardów innych, maleńka gwiazda wokół której krąży dziesięć obiektów które można nazwać planetami. Żaden człowiek ani żadna istota inteligentna nigdy nie zobaczy tej gwiazdy i jej planet – nie będzie wiedział o jej istnieniu. Ale ona istnieje i wywiera wpływ na swoje gwiezdne otoczenie a sama ilość krążących planet kształtuje ich wzajemne interakcje i orbity po których krązą wokół swojej gwiazdy. Taka liczność jest niezależna od jakiekolwiek konstrukcji matematycznej. Stąd też mój pogląd że jest to pojęcie pierwotne. Zaznaczam że nie jest to mój oryginalny wniosek. Otóż teoria mnogości od zawsze miała wielu przeciwników. Pojawił się konstruktywizm matematyczny.
Konstruktywizm matematyczny to podejście, które zakłada, że coś istnieje w matematyce tylko wtedy, gdy potrafimy to skonstruować w sposób jasny i krok po kroku. Zamiast mówić, że „coś istnieje” tylko dlatego, że wynika to z ogólnych zasad lub dowodów pośrednich, konstruktywista wymaga, aby istniał konkretny sposób znalezienia tego "czegoś".
Zwolennicy teorii zbiorów i konstruktywiści nawzajem się zwalczali – stąd też paradoks że do pracy mieszczącej się w obrębie teorii mnogości sięgam po wybrane twierdzenia konstruktywistów. Wymieńmy je po kolei:
- Liczność jest pojęciem pierwotnym, czymś, co istnieje niezależnie od jakiejkolwiek formalnej konstrukcji.
- pojęcia matematyczne, w tym zbiór, istnieją tylko wtedy, gdy można je skonstruować.
- zbiór nie istnieje „obiektywnie”, dopóki nie określimy jego elementów w sposób konstruktywny (intuicjonizm Browera)
Twierdzenia te nabierają sensu jeżeli uświadomimy sobie że matematyka jest siatką znaczeniową którą „zarzucamy” na otaczający nas świat w celu odkrycia istniejących tam prawidłowości i wzajemnych zależności.
Dziś mogę powiedzieć że obie walczące strony mają rację. Każdy formalizm matematyczny to abstrakcja mająca na celu uogólnienie grupy pojęć. Istnieje więcej niż jedno możliwe opisanie danej struktury ale opisy te nawzajem nie muszą się wykluczać. W matematyce spotykamy się z tym dosyć często. Konstruktywizm w moich oczach jest drogą wiodącą do teorii zbiorów – nie jest jej przeciwieństwem a dopełnieniem.
Tak więc taka pierwotna liczność nie jest zbiorem.
Synonim – podstawowe pojęcia.
Dysponując podstawowymi pojęciami możemy sformułować pierwszą istotną dla nas definicję – definicję synonimu. Matematyka nie używa pojęcia synonimu. To pojęcie rodem z językoznawstwa. Zgodnie z ogólną definicją to wyraz bliskoznaczny, który może zastępować inne słowo w określonym kontekście, w tym również emocjonalnym Istnieje jednak wiele różniących się między sobą definicji tego pojęcia stąd też w matematyce, która stara się być precyzyjna używamy innych nazw: mówimy o równoważnych definicjach, równoważności pojęć lub izomorfizmie struktur. Ponieważ szukamy definicji zbioru która uwzględnia wszystkie możliwe do skonstruowania zbiory „synonim” jest pojęciem najbardziej precyzyjnym. Oto proponowana przeze mnie definicja tego pojęcia:
Synonim – odwzorowanie własności i relacji obiektu fizycznego lub wyobrażonego ( konstrukcji myślowej) zbioru x w procesie uogólniania (wyboru cech i relacji) na zbiór Y połączony z określeniem słownym, węchowym lub akustycznym. ( etykieta zbioru).
Najkrócej jest to twór powstały w procesie abstrakcji któremu umysł nadał etykietę – określenie słowne, zapach lub dźwięk.
Weźmy bardzo niedorzeczny przykład: Jasiu chciał utworzyć zbiór słoni. Żeby mógł utworzyć taki zbiór kazał zamówić dostawę pięciu słoni z Afryki i ustawił je w ogrodzie tworząc w ten sposób zbiór.
Żart nie jest śmieszny, Ma na celu unaocznienie ważnej cechy każdego zbioru : elementami zbioru są synonimy – odwzorowania słowne obiektów fizycznych i abstrakcyjnych. Proponowana definicja jasno opisuje proces powstawania synonimu. Powstaje on w procesie abstrakcji tworząc zbiór cech i relacji przypisanych do etykiety zbioru ( jego nazwy). Myśląc słoń mamy na myśli zestaw cech opisujących te zwierze, miejsca jego występowania etc. … Wszystko zawieramy w jednym słowie „słoń”. Tworząc zbiór pięciu słoni – tworzymy zbiór z synonimów powiązanych z odwzorowaniem liczności – pojęć równoważnych w naszym umyśle dla żywego stworzenia o konkretnych , własnościach i przypisanych relacjach do świata w którym żyjemy.
No dobrze ale słonie nie są przedmiotem badań matematyki i teorii mnogości.
Otóż liczba jest też synonimem – odwzorowaniem liczności, gdzie w procesie abstrakcji odrzucono wszelkie inne cechy i relacje zostawiając tylko samo odwzorowanie. Ze zbioru pięciu słoni w procesie abstrakcji zostało tylko odwzorowanie liczności a więc liczba pięc. Zbiory liczbowe a tym bardziej ich algebraiczne lub symboliczne reprezentacje są również zbiorami synonimów.
Ciąg dalszy nastąpi ...
Inne tematy w dziale Technologie
