Teoria mnogości - historia i założenia.

Przeczytaj też : https://www.salon24.pl/u/arkadiusz/1371864,matematyka-krolowa-nauk-czy-dyscyplina-pomocnicza

Przeciętny czytelnik z pojęciem zbioru i podstaw wiedzy o zbiorach spotyka się w młodszych klasach szkoły podstawowej. W dalszej edukacji autorzy programów szkolnych traktują teorię mnogości po macoszemu i można odnieść wrażenie że są to peryferia matematyki. Tymczasem jest dokładnie odwrotnie : teoria mnogości jest fundamentem znanej nam matematyki.

Prehistoria czyli co było przed Cantorem

Jednym z pierwszym wielkich uczonych który przybliżył się do sformułowania pojęcia zbiór był Euklides. W swojej pracy Elementy, Euklides nie wprowadził pojęcia zbioru jako takiego, ale jego twierdzenia geometryczne opierały się na pewnym intuicyjnym rozumieniu kolekcji obiektów, np. punktów, linii i figur geometrycznych. Wyrażenia takie jak „wszystkie punkty na prostej” czy „zbiór wierzchołków wielokąta” można uznać za pierwowzory zbiorów.

Drugim z wielkich Greków który niewątpliwie zasłużył się w tym temacie był Arystoteles. W Metafizyce oraz innych dziełach omawiał pojęcia zbiorów potencjalnych (np. nieskończoności potencjalnej), które były bliskie idei kolekcji elementów, choć nie w sensie formalnym. Rozważał też filozoficzne pojęcie „klasy” - kolekcji elementów o wspólnych cechach, które można uznać za proto-zbiory.

Pojęć zbliżonych do pojęcia zbiorów używali najczęściej zwykli ludzie. Szczególnie dotyczyło to kupców i rzemieślników ( a więc stanu posiadania ). „ Mam więcej kobiet niż ty wojowników” chwalił się anonimowy władca z anegdoty ( mój zbiór kobiet jest większy niż twój zbiór wojowników).

W epoce nowożytnej po wiekach zastoju wśród osób które położyły fundamenty pod przyszłą teorię mnogości są same wielkie nazwiska : Blaise Pascal i Pierre De Fermat ( którzy używali zbiorów w sposób intuicyjny, bez formalizmu) ; Giuseppe Peano który pracował nad aksjomatyką liczb naturalnych i wprowadził formalne zapisy, które zbliżały się do pojęcia zbioru. Jego aksjomaty są bliskie współczesnemu podejściu w teorii mnogości. ; Kartezjusz którego układ współrzędnych pozwolił opisywać figury jak zbiory punktów ; Bertrand Bolzano który jest znany z idei nieskończoności i pracy nad pojęciami, które zbliżały się do formalnych zbiorów. Jego prace wyprzedziły Cantora, ale nie zostały szeroko znane za jego życia. ; Richard Dedekind który badał pojęcia nieskończoności oraz liczb rzeczywistych i wprowadził definicje związane z podzbiorami oraz relacjami między zbiorami.

Z innych wielkich uczonych wpływ na prace Cantora mieli Augustin – Louis Cauchy ( zbiory punktów na osiach liczbowych, definicje granic ciągłości i zbieżności ) i Karl Weierstrass - analityczna teorii funkcji i topologia.

Cantor i jego idee

Cantor nie zaczynał więc w próżni. On pierwszy wprowadził używany do dziś formalizm w teorii mnogości i on pierwszy zdał sobie sprawę z jej uniwersalności. W latach 1874 – 1897 opublikował on serię artykułów które podłożyły podwaliny pod teorię mnogości. Pod wpływem głównego antagonisty Cantora, Leopolda Kroneckera jego prace zostały odrzucone przez znaczną część ówczesnych matematyków.

Dedekind i Hilbert szybko jednak dostrzegli potencjał prac Cantora. Jego idea nieskończoności aktualnej i usystematyzowanie podstaw teorii zbiorów stopniowo zaczęły nabierać znaczenia.

Cantor jako pierwszy oswoił pojęcie nieskończoności aktualnej, znanej jeszcze z pism Arystotelesa. Przed nim każdy zbiór nieskończony ( np.: zbiór liczb naturalnych) był konstruowany na zasadzie nieskończoności potencjalnej. Tworzenie takiego zbioru było procesem który można kontynuować w nieskończoność, np. dodawanie kolejnych liczb, za każdym razem jednak otrzymując skończoną liczbę elementów zbioru – liczbę kardynalną. Cantor wprowadził nowy rodzaj liczb – liczby nadskończone ( ang. transfinite number ) gdzie moc zbioru nieskończonego określała taka liczba kardynalna (alef zero) – była to abstrakcja sugerująca że istnieje liczba kardynalna która moc takiego zbioru opisuje.

Ponieważ często jest to mylone, to przypomnę tylko: Moc zbioru to właściwość zbioru, która może być wyrażona przy pomocy liczby kardynalnej. Liczba kardynalna to specyficzny obiekt matematyczny, który formalizuje tę moc i umożliwia jej operowanie w ramach teorii mnogości.

 George Cantor

Takie potraktowanie sprawy przeczyło powszechnie akceptowanej wówczas idei konstruktywizmu, mówiącego że każdy obiekt matematyczny można skonstruować w skończonej ilości kroków. Kronecker zarzucał też Cantorowi że jego teorie są czysto teoretyczne i nie mają zastosowania praktycznego – argument po pierwsze nietrafiony, po drugie dziś już wiemy że to co dzisiaj nazywamy matematyką abstrakcyjną, jutro znajduje swoje zastosowanie praktyczne.

Zainteresowanie Cantora problemem nieskończoności przerodziło się w obsesję która zaprowadziła go zakładu psychiatrycznego. Cantor postrzegał swoją teorię mnogości jako coś więcej niż czysto matematyczny wkład. Uważał, że jego odkrycia mają głęboki związek z metafizyką i boskością. Utożsamiał nieskończoność z Bogiem, co prowadziło do intensywnych rozważań filozoficznych i religijnych. Boleśnie też odczuwał brak akceptacji swoich idei ze strony środowiska naukowego. Miewał ostre napady depresji maniakalnej, prawdopodobnie cierpiał na chorobę sfektywną dwubiegunową. Ostatecznie jego teorie zwyciężyły – w 1904 został uhonorowany medalem Sylwestra i doczekał się oficjalnego uznania. Słynne są do dzisiaj słowa Dawida Hilberta który powiedział: "Nikt nie wypędzi nas z raju, który stworzył dla nas Cantor."

Naszkicowałem tu pobieżnie historię teorii mnogości i losy samego Cantora, traktując to bardziej jako wprowadzenie do tematu. Dokładniejszych i bardzo szczegółowych informacji dociekliwy czytelnik znajdzie w sieci, do czego zresztą zachęcam.

Dlaczego w języku polskim używamy terminu Teoria Mnogości a nie Teoria Zbiorów

Otóż Cantor pisał swoje prace w języku niemieckim i używał określenia „Mengenlehre”, który dosłownie oznacza „nauka o mnogościach” lub „teoria mnogości”. Słowo „mnogość” w języku polskim oznacza „wielką liczbę czegoś” lub „różnorodność”. To dobrze oddawało intuicyjną koncepcję zbiorów w teorii Cantora, zwłaszcza w kontekście nieskończoności i porównywania wielkości różnych zbiorów. Współczesne słowo „zbiór” jest bardziej jednoznaczne i intuicyjne w ujęciu podstawowym, ale w tamtych czasach mogło nie wydawać się wystarczająco abstrakcyjne.

W okresie międzywojennym polska szkoła matematyczna, skupiona wokół takich uczonych jak Wacław Sierpiński czy Kazimierz Kuratowski, była silnie związana z tradycją niemiecką i francuską. W pracach naukowych, szczególnie w tłumaczeniach prac Cantora i innych niemieckojęzycznych matematyków, przyjęto termin „mnogość”. Pojęcie „mnogość” w polskim języku matematycznym podkreślało abstrakcyjną naturę teorii Cantora, nawiązując do nieskończonych zbiorów i ich różnorodności.

Obecnie używa się tych nazw zamiennie.

Naiwna teoria mnogości

Podstawy teoretyczne opracowane przez Cantora dały początek naiwnej teorii mnogości. Postrzegana jako efektywne narzędzie pracy matematyka wkrótce ujawniła pierwsze mankamenty.

Najbardziej podstawowym problemem był brak precyzyjnej definicji. Otóż pojęcie zbiór jest pojęciem rekurencyjnym (odwołuje się do siebie ). Tak więc definicja zbioru w ujęciu naiwnej teorii mnogości brzmi :”Zbiorem nazywamy uporządkowany zbiór elementów”. Zamiennie w takiej definicji używane są też zamienniki słowa „zbiór” takie jak „zestaw” lub „kolekcja”. Pozwala to na formowanie zbiorów na podstawie dowolnego warunku logicznego, co prowadzi do paradoksów i sprzeczności. Najbardziej znane to paradoks Russela, paradoks zbioru wszystkich zbiorów, wątpliwości związane z zasadą abstrakcji, paradoks Burali-Fortiego i inne.

Brak definicji która precyzyjnie określi własności zbioru i określi kryteria jego konstrukcji spowodował ostatecznie zastąpienie naiwnej teorii mnogości przez aksjomatyczną teorię mnogości. Mimo wszystko stara teoria ciągle znajduje zastosowanie w praktyce matematycznej o ile nie prowadzi do paradoksów.

Aksjomatyczna Teoria Mnogości

Słabością Naiwnej Teorii Mnogości była jej dowolność w tworzeniu obiektów które nazywamy zbiorami. Zarzut Kronecberga który zarzucał jej tworzenie obiektów nieistniejących był po części słuszny – pozwalała ona na tworzenie zbiorów których własności były sprzeczne np.: takie opisane przez paradoks Russella. Pokazuje to że bez ścisłych zasad które definiują zasady tworzenia zbiorów, rządząca nimi logika może wpaść w pułapki które wydają się być absurdalne.

Narzędziem które posłużyło do sprecyzowania zasad była aksjomatyka.

Aksjomaty nie podlegają dowodzeniu w ramach danej teorii – są przyjmowane „na wiarę”. Jednak ich wybór jest kluczowy: aksjomaty powinny być sensowne, spójne i użyteczne, by cała teoria mogła służyć jako narzędzie w matematyce lub naukach ścisłych.

Jako pierwszy pojęcie aksjomatu wprowadził Euklides w „Elementach”, Obecnie jest on zdefiniowany jako dowolne założenie wybrane do budowy systemu matematycznego, niezależnie od jego intuicyjnej prawdziwości.

O ile w matematyce jest to precyzyjnie określone o tyle w innych naukach ścisłych zdarzają się przypadki kiedy jest on tak uproszczony że mogłoby się wydawać że przyjęcie takiego aksjomatu powinno prowadzić do błędnych wyników. Tak było ze Szczególną Teorią Względności w której   z aksjomatyki wynikało   że światło rozchodzi się zawsze po liniach prostych ( co oczywiście w świetle późniejszej OTW, okazało się nieprawdą).

Aksjomaty od innych twierdzeń wyróżniają przede wszystkim dwie cechy: niezależność – jeden aksjomat nie może wynikać z drugiego i niesprzeczność – jeden aksjomat nie może zaprzeczać drugiemu. Powinny też dotyczyć kwestii podstawowych dla danej teorii.

W 1908 Ernst Zermelo zaproponował pierwszą aksjomatyczną teorię zbiorów. Wprowadził on system aksjomatów, który miał ograniczyć sposób, w jaki zbiory mogą być konstruowane. Jego teoria wykluczała istnienie paradoksalnych zbiorów. W 1922 roku teoria Zermelo została rozszerzona przez Abrahama Fraenkela i Thoralf Skolema. Powstał system aksjomatów Zermelo-Fraenkela (ZF), który jest do dziś podstawą matematyki. Później dodano jeszcze aksjomat wyboru którego autorem był Zermelo ( będący na początku osobnym twierdzeniem) i który do dziś wzbudza kontrowersje mimo jego znacznej użyteczności dla dowodzenia takich twierdzeń jak Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna czy Paradoks Banacha-Tarskiego ( jeśliby wymienić najbardziej znane).

ZF z dodanym aksjomatem wyboru określamy jak ZFC.

Teoria mnogości (szczególnie w wersji aksjomatycznej ) pozwoliła na unifikację (połączenie w jedną całość) różnych działów matematyki poprzez formalne oparcie na zbiorach, unikanie paradoksów dzięki precyzyjnym ograniczeniom konstrukcji zbiorów i wpłynęła na rozwój logiki formalnej i podstaw matematyki.

Dodać należy że powstało wiele innych systemów aksjomatyki definiujących ograniczenie nakładane na konstrukcję zbiorów. Praktycznie każdy z wielkich matematyków opracował swój własny zestaw aksjomatów, jednak powszechnie przyjmuje się przede wszystkim ZFC jako podstawę aksjomatycznej teorii mnogości.

Krajobraz po …

 Powstanie i powszechna akceptacja ZFC sprawiły że uznano pojęcie zbioru za pierwotne i niedefiniowalne. Temat definicji zbioru ( a więc wyjścia poza definiowanie zbioru jako struktury odwołującej się sama do siebie – inaczej rekurencyjnej) jest dziś martwy i ciągle wiemy tyle jak za czasów Cantora.