Strona wykorzystuje pliki cookies.
Informujemy, że stosujemy pliki cookies - w celach statycznych, reklamowych oraz przystosowania serwisu do indywidualnych potrzeb użytkowników. Są one zapisywane w Państwa urządzeniu końcowym. Można zablokować zapisywanie cookies, zmieniając ustawienia przeglądarki internetowej. Więcej informacji na ten temat.
"... i enigmatyczne neutrina oscylować nie będą..."
'Ich bin ganz Ohr', znaczy zamieniam się w słuch!
A póki co podsłuchuję na stacjach różnistych
jak ryża czupryna za Wielką Wodą tonie...,
to nie żarty, nawet dla nauki...
pzdr
A tych zadan nie umiem. :((( Ale nie chce byc fizykiem od neutrin tylko raczej od ogolnej teorii wzglednosci i mechaniki kwantowej. A ci od neutrin to nie sa raczej doswiadczalni fizycy?
"A tych zadan nie umiem"
Tak się spodziewałem. Rozwiążę je zatem szczegółowo/pokazowo w następnej notce.
"A ci od neutrin to nie sa raczej doswiadczalni fizycy?"
Doświadczalni o tyle, że przeprowadzają doświadczenia komputerowe (tzw. metody Monte Carlo). Główna ich praca to programowanie w języku C++ w oparciu o taką czy inną teorię. Z fizyką popdstawową nie ma to nic wspólnego i wysokich lotów nie wymaga.
"A ci od neutrin..."
Problem neutrin może Pan spokojnie zostawić na później.
Do tego trzeba mieć pomysł na temperaturę w centrum Słońca.
No chyba, że ma Pan już dzisiaj pomysł dlaczego to nie jest 15,6 a 14,7 Milionów °C.
Z ciekawością się przyjrzę takiemu pomysłowi.
pzdr
"Ale nie chce byc fizykiem od neutrin tylko raczej od ogolnej teorii wzglednosci i mechaniki kwantowej..."
To raczej może Pan też zostawić na później.
Dobrze jest zacząć fizykę od podstaw i te podstawy dobrze zrozumieć i 'przetrawić'.
pzdr
Dziekuję!
"Wektor X, styczny do M w punkcie p, przyporządkowuje każdej funkcji liczbę, coś jakby pochodną tej funkcji w tym punkcie w danym kierunku."
Nie rozumiem powyższego zdania. W jakim kierunku?
Jeśli X jest styczny, to alphaX też jest styczny?
Czy zatem ta wspomniana liczba nie jest dowolna?
No więc jeśli X i przeskalowany X "przyporządkowują każdej funkcji" "liczby" to te obydwie (różniące się od siebie) liczby nie mogą być jednocześnie "coś jakby pochodną tej funkcji w tym punkcie w danym kierunku" ?
Racja. Raczej "pochodna wzdłuż danego wektora". Poprawię w notce.
Przypuśćmy, ze mamy współrzędne x,y,z. Przypuśćmy, że mamy funkcję f(x,y,z). Możemy wtedy obliczyć pochodne cząstkowe
f'x, f'y, f'z.
Przypuśćmy, że mamy wektor X=[3,4,5]
Wtedy X(f) z notki jest postaci
X(f)=3 f'x+ 4 f'y5 f'z
X(f)=3 f'x + 4 f'y + 5 f'z
"Jak znamy wektor i mamy np. X=[3,4,5] to możemy poznać jego wartość bo |X|=(3^2+4^2+5^2)^1/2 i narysować ten wektor na wykresie i policzyc kąt z trójkąta prostokatnego."
A wie Pan jak się zdziwili kiedyś na budowie moje chłopy, kiedy mieli w na dużym, pustym placu
wyznaczyć prostokątną linię oświetlenia parkingu. Serb, Chroate i Bośniak popatrzyli z niedowierzaniem,
kiedy im powiedziałem, żeby odmierzyli trzy metry w tę, cztery metry w poprzek i żeby szukali tych 5 m tak po skosie.
Oświetlenie wyszło 1A, świeci do dzisiaj...
pzdr
Żeby nie było, że tylko pytam - odpowiadam na zadanie 2 - trzeba policzyć jak dowolny Z działa na x^2 i na 3x-2. Oba zapisy oznaczają tę samą funkcję na {1, 2}.
Jak działam? Jakim wektorem?
Działam wektorem Z na funkcje według wzoru podanego przez prof Jadczyka: Z(fg) = Z(f) g(p) + f(p) Z(g). W przykładzie jaki podałem, działam dowolnym wektorem, żeby pokazać, że musi być on odwzorowaniem zerowym. Funkcja x określona jak wyżej jest jednoelementową mapą na {A, B} (czy na {1, 2} jak w notce). Wystarczy więc, jeśli pokażemy, że każdy wektor Z zeruje funkcję x w obu punktach zbioru.
Z(x^2)(A) = 2x(A)Z(x)(A) = 2Z(x)(A)
a równocześnie
Z(3x-2)(A) = 3Z(x)(A)
czyli Z(x) dla punktu A musi być równe 0. Podobnie dla punktu B. Chyba, że się gdzieś pomyliłem.
Trudno jest mi ocenić poprawność Twojego dowodu. Na pewno wymagał on wymyślenia jakichś sztucznych (sztuczkowych) funkcji typu x^2 i 3x-2.
Ja bym to zadanie rozwiązywał bardziej łopatologicznie.
Mamy mieć X(fg) = X(f)g + fX(g)
Niech funkcja f przyjmuje na punktach wartości odpowiednio a i b co będę zapisywał jako f=[a,b]
Podobnie g=[c,d]
Zatem fg=[ac,bd]
Zatem X(fg)=X([ac,bd])
Z kolei
X(f)g = X([a,b])g = X([a,b]) [c,d] co ze względu na wymaganie, że X ma być liniowe pociąga równanie
X(f)g = X([ac,bd])
Podobnie
fX(g) = fX([c,d]) = [a,b]X([c,d]) = X([ac,bd])
Zatem żeby X(fg) = X(f)g + fX(g) musi być
X([ac,bd]) = X([ac,bd]) + X([ac,bd]) czyli
X([ac,bd]) = 2 X([ac,bd])
Jest to możliwe dla dowolnych funkcji f,g tylko wtedy gdy X jest tożsamościowo zerem.
Czas, żeby Arkadiusz przedstawił swój dowód.
Liniowość oznacza, że (w twoim zapisie):
aX([c,d]) = X([ac,ad])
czyli, że można ją stosować tylko do funkcji stałych:
[a,a]X([c,d]) = X([ac,ad])
Ale i tak moje argumenty nie są za eleganckie, pewnie jest jakiś ładny dowód bez odwoływania się do konkretnej funkcji x.
No tak.
Więc
X(fg) = X([ac,bd])
X(f)g(A) = X([a,b])c = X([ac,bc])
f(A)X(g) = aX([c,d]) = X([ac,ad])
Czyli musi zachodzić
X([ac,bd]) = X([ac,bc]) + X([ac,ad])
i dalej
mac + nbd = mac + nbc + mac + nad
nbd = mac + nbc + nad
Widać, że m i n muszą być zerami.
Nie jest to zbyt eleganckie więc tym bardzie czekam na rozwiązanie Arkadiusza.
Jest dość nudne. Funkcjonały liniowe na przestrzeni liniowej tworzą przestrzeń liniową. Tzw. dualną. Ale my rozważamy tylko funkcjona ly liniowe spełniające warunek
X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g)
Powiedzmy, że X Y są takimi funkcjonałami. Mamy więc, z założenia, dla dowolnych funkcji f,g
X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g)
Y(fg) = Y(f) g(p) + f(p) Y(g)
Dodajemy stronami
X(fg) +Y(fg)= (X(f) g(p) +Y(f)) g(p)+ f(p) (X(g)+Y(g))
Czyli X+Y zdefiniowane jako (X+Y)(f)=X(f)+Y(f) dla wszystkich f, też spełnia warunek działania na iloczyn funkcji, Podobnie skalar razy X.
Lepiej się zatem skoncentruję na zadaniu 2, chyba, że ktoś by miał problemy z zadaniem 1.
Z założenia zbiór M składa się z dwóch punktów 1 i 2. Zatem każda funkcja f na M jest określona przez zadanie dwóch liczb f(1) i f(2). Funkcje tworzą przestrzeń liniową. W naszym przypadku dodawanie funkcji to dodawanie tych dwóch liczb, zaś mnożenie przez skalar to mnożenie przez skalar tych dwóch liczb.
Rozważmy dwie sczególne funkcje, oznaczę je literami e1 i e2. Zdefioniowane są tak
e1(1)=1, e1(2) =0
e2(1)=0, e2(2)=1.
Dowolna funkcja jest teraz kombinacją liniow tych dwó. W istocie, z definicji mamy:
f = f(1) e1 + f(2) e2
co można sprawdzić obliczając wartość lewej i prawej strony w punktach 1 i 2
Wektory e1 i e2 tworzą bazę, nasza przestrzeń funkcji jest dwuwymiarowa.
Powiedzmy, że X jest wektorem stycznym w punkcie 1. Znamy X gdy znamy jego wartości na wektorach bazy. Powiedzmy X(e1)=x1,X(e2)=x2.
W formule na X(fg) położmy g=f. Powinniśmy mieć wtedy
X(ff)=2X(f)f(1)
Położmy w szczególności f=e1. Wtedy ff=f i powinniśmy mieć
X(f)=2X(f)f(1).
Ale przy naszym wyborze f f(1)=e1(1)=1. Wynika stąd 0=X(f)=x1.
A teraz zróbmy to samo wybierając f=e2.
Dostajemy
X(ff)=X(f)=x2, zaś po prawej mamy 2X(f)f(1) =0, bowiem e2(1)=0. Zatem x1=x2=0, zatem X jest funkcjonałem zerowym. Nie ma innych.
No i zajefajnie.
Czasem jednak postęp nie jest sxybki
"Problem z matematyką jest taki, że z czasem w imię zwięzłości poświęca się przesłanie, ideę"
Z grubsza są dwa podejsćia do wektorów stycznych. Pierwsze to skąd się taki bierze, drugie, to co taki robi. W pierwszym podejściu definiuje się wektor styczny jako klasę równoważności gładkich krzywych przechodzących przez dany punkt. Niby trochę jest to poglądowe, ale tylko trochę. Drugie podejście to: co one robią te wektory styczne? Ja wybrałem to drugie. One służą do różniczkowania funkcji. Taka jest ich role, takie zadanie.
A w odpowiedzi na pytanie Zajtenberga czy ograniczymy algebrę funkcji? Tak, ograniczymy się do rozmaitość a nie dowolnych zbiorów, i ograniczymy algberę funkcji do funkcji gładkich (a już co najmniej różniczkowalnych). Wtedy w szczególności odpadną funkcje zero-jedynkowe, które są równe swemu kwadratowi, jak w moim roziązaniu zadania 2.
Dzięki za odpowiedź. Przerabialiśmy wektory i formy u Oziewicza, ale wtedy nawet nie wiedziałem, jakie pytania mogę zadawać - na pierwszym roku studiów zakres wiedzy nie jest za wielki. Tak, że pewnie jeszcze jakieś się pojawią.