Komentarze do notki: Krótko o wymiarach i wektorach

« Wróć do notki

Tadeusz Tumalski5 listopada 2020, 17:40
@Autor
"... i enigmatyczne neutrina oscylować nie będą..."

'Ich bin ganz Ohr', znaczy zamieniam się w słuch!
A póki co podsłuchuję na stacjach różnistych 
jak ryża czupryna za Wielką Wodą tonie..., 
to nie żarty, nawet dla nauki...
pzdr
Matinary20206 listopada 2020, 08:59
A kto uwaza, ze wektory sa dalekie od fizyki i czemu? Te neutrina to jest inna fizyka? Bo tak na intuicje sie wydaje ze do tej oscylacji neutrin tez trzeba algebry skoro one zmieniaja zapachy bo to jest chyba jakas symetria i trzeba tam zdefiniowac grupe Liego. Cos takiego slyszalem, ale nie jestem pewien czy dobrze zrozumialem i czy to sie odnosi do tej oscylacji ale tak klejac fakty to chyba tak. 

A tych zadan nie umiem. :((( Ale nie chce byc fizykiem od neutrin tylko raczej od ogolnej teorii wzglednosci i mechaniki kwantowej. A ci od neutrin to nie sa raczej doswiadczalni fizycy?
Arkadiusz Jadczyk6 listopada 2020, 09:39
@Matinary2020 

"A tych zadan nie umiem"

Tak się spodziewałem. Rozwiążę je zatem szczegółowo/pokazowo w następnej notce.

"A ci od neutrin to nie sa raczej doswiadczalni fizycy?"

Doświadczalni o tyle, że przeprowadzają doświadczenia komputerowe (tzw. metody Monte Carlo). Główna ich praca to programowanie w języku C++ w oparciu o taką czy inną teorię. Z fizyką popdstawową nie ma to nic wspólnego i wysokich lotów nie wymaga.
Tadeusz Tumalski6 listopada 2020, 16:17
@Matinary2020 
"A ci od neutrin..."

Problem neutrin może Pan spokojnie zostawić na później.
Do tego trzeba mieć pomysł na temperaturę w centrum Słońca.
No chyba, że ma Pan już dzisiaj pomysł dlaczego to nie jest 15,6 a 14,7 Milionów °C.
Z ciekawością się przyjrzę takiemu pomysłowi.
pzdr
Tadeusz Tumalski6 listopada 2020, 21:36
@Matinary2020 
"Ale nie chce byc fizykiem od neutrin tylko raczej od ogolnej teorii wzglednosci i mechaniki kwantowej..."

To raczej może Pan też zostawić na później.
Dobrze jest zacząć fizykę od podstaw i te podstawy dobrze zrozumieć i 'przetrawić'.
pzdr
Komentarz został usunięty przez autora komentarza.
Arkadiusz Jadczyk6 listopada 2020, 11:04
@Bjab 
Dziekuję!
Bjab6 listopada 2020, 11:39
@Arkadiusz Jadczyk :
"Wektor X, styczny do M w punkcie p, przyporządkowuje każdej funkcji liczbę, coś jakby pochodną tej funkcji w tym punkcie w danym kierunku."

Nie rozumiem powyższego zdania. W jakim kierunku?
Jeśli X jest styczny, to alphaX też jest styczny?
Czy zatem ta wspomniana liczba nie jest dowolna?
Bjab6 listopada 2020, 13:49
@Arkadiusz Jadczyk
No więc jeśli X i przeskalowany X "przyporządkowują każdej funkcji" "liczby" to te obydwie (różniące się od siebie) liczby nie mogą być jednocześnie "coś jakby pochodną tej funkcji w tym punkcie w danym kierunku" ?
Arkadiusz Jadczyk6 listopada 2020, 14:02
@Bjab 

Racja. Raczej "pochodna wzdłuż danego wektora". Poprawię w notce.
Arkadiusz Jadczyk6 listopada 2020, 14:56
@Matinary2020 

Przypuśćmy, ze mamy współrzędne x,y,z. Przypuśćmy, że mamy funkcję f(x,y,z). Możemy wtedy obliczyć pochodne cząstkowe

f'x, f'y, f'z.

Przypuśćmy, że mamy wektor X=[3,4,5] 

Wtedy X(f) z notki jest postaci


X(f)=3 f'x+ 4 f'y5 f'z
Arkadiusz Jadczyk6 listopada 2020, 14:57
@Arkadiusz Jadczyk 

X(f)=3 f'x + 4 f'y + 5 f'z
Tadeusz Tumalski8 listopada 2020, 18:43
@Matinary2020 
"Jak znamy wektor i mamy np.  X=[3,4,5] to możemy poznać jego wartość bo |X|=(3^2+4^2+5^2)^1/2 i narysować ten wektor na wykresie i policzyc kąt z trójkąta prostokatnego."

A wie Pan jak się zdziwili kiedyś na budowie moje chłopy, kiedy mieli w na dużym, pustym placu 
wyznaczyć prostokątną linię oświetlenia parkingu. Serb, Chroate i Bośniak popatrzyli  z niedowierzaniem, 
kiedy im powiedziałem, żeby odmierzyli trzy metry w tę, cztery metry w poprzek i żeby szukali tych 5 m tak po skosie. 
Oświetlenie wyszło 1A, świeci do dzisiaj...
pzdr
Zajtenberg6 listopada 2020, 19:04
Mam pytanie: Czy słowa "od algebry funkcji F więcej wymagać nie będziemy" oznaczają, że w przyszłości nałożymy jednak jakieś ograniczenia? Bo oparcie się na warunku Leibniz'a sugeruje ograniczenie się do funkcji analitycznych.

Żeby nie było, że tylko pytam - odpowiadam na zadanie 2 - trzeba policzyć jak dowolny Z działa na x^2 i na 3x-2. Oba zapisy oznaczają tę samą funkcję na {1, 2}.
Bjab6 listopada 2020, 20:40
@Zajtenberg
Jak działam? Jakim wektorem?
Zajtenberg6 listopada 2020, 21:55
@Bjab
Działam wektorem Z na funkcje według wzoru podanego przez prof Jadczyka: Z(fg) = Z(f) g(p) + f(p) Z(g). W przykładzie jaki podałem, działam dowolnym wektorem, żeby pokazać, że musi być on odwzorowaniem zerowym. Funkcja x określona jak wyżej jest jednoelementową mapą na {A, B} (czy na {1, 2} jak w notce). Wystarczy więc, jeśli pokażemy, że każdy wektor Z zeruje funkcję x w obu punktach zbioru.
Z(x^2)(A) = 2x(A)Z(x)(A) = 2Z(x)(A)
a równocześnie
Z(3x-2)(A) = 3Z(x)(A)
czyli Z(x) dla punktu A musi być równe 0. Podobnie dla punktu B. Chyba, że się gdzieś pomyliłem.
Bjab7 listopada 2020, 04:07
@Zajtenberg 
Trudno jest mi ocenić poprawność Twojego dowodu. Na pewno wymagał on wymyślenia jakichś sztucznych (sztuczkowych) funkcji typu x^2 i 3x-2.
Ja bym to zadanie rozwiązywał bardziej łopatologicznie.
Mamy mieć X(fg) = X(f)g + fX(g)
Niech funkcja f przyjmuje na punktach wartości odpowiednio a i b co będę zapisywał jako f=[a,b]
Podobnie g=[c,d]
Zatem fg=[ac,bd]
Zatem X(fg)=X([ac,bd])

Z kolei
X(f)g = X([a,b])g = X([a,b]) [c,d] co ze względu na wymaganie, że X ma być liniowe pociąga równanie
X(f)g = X([ac,bd])

Podobnie
fX(g) = fX([c,d]) = [a,b]X([c,d]) = X([ac,bd])

Zatem żeby X(fg) = X(f)g + fX(g) musi być
X([ac,bd]) = X([ac,bd]) + X([ac,bd]) czyli
X([ac,bd]) = 2 X([ac,bd])
Jest to możliwe dla dowolnych funkcji f,g tylko wtedy gdy X jest tożsamościowo zerem.

Czas, żeby Arkadiusz przedstawił swój dowód.
Zajtenberg7 listopada 2020, 06:08
@Bjab
Liniowość oznacza, że (w twoim zapisie):
aX([c,d]) = X([ac,ad])
czyli, że można ją stosować tylko do funkcji stałych:
[a,a]X([c,d]) = X([ac,ad])

Ale i tak moje argumenty nie są za eleganckie, pewnie jest jakiś ładny dowód bez odwoływania się do konkretnej funkcji x.
Bjab7 listopada 2020, 08:47
@Zajtenberg
No tak.

Więc
X(fg) = X([ac,bd])

X(f)g(A) = X([a,b])c = X([ac,bc])
f(A)X(g) = aX([c,d]) = X([ac,ad])
Czyli musi zachodzić
X([ac,bd]) = X([ac,bc]) + X([ac,ad])
i dalej
mac + nbd = mac + nbc + mac + nad
nbd = mac + nbc + nad
Widać,  że m i n muszą być zerami.

Nie jest to zbyt eleganckie więc tym bardzie czekam na rozwiązanie Arkadiusza.
Komentarz został usunięty przez autora komentarza.
Arkadiusz Jadczyk7 listopada 2020, 18:49
Zadanie 1
Jest dość nudne. Funkcjonały liniowe na przestrzeni liniowej tworzą przestrzeń liniową. Tzw. dualną. Ale my rozważamy tylko funkcjona ly liniowe spełniające warunek

X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g)

Powiedzmy, że X Y są takimi funkcjonałami. Mamy więc, z założenia, dla dowolnych funkcji  f,g

X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g)
Y(fg) = Y(f) g(p) + f(p) Y(g)

Dodajemy stronami

X(fg) +Y(fg)= (X(f) g(p) +Y(f)) g(p)+ f(p) (X(g)+Y(g))

Czyli X+Y zdefiniowane jako (X+Y)(f)=X(f)+Y(f) dla wszystkich f, też spełnia warunek działania na iloczyn funkcji, Podobnie skalar razy X.

Lepiej się zatem skoncentruję na zadaniu 2, chyba, że ktoś by miał problemy z zadaniem 1.
Arkadiusz Jadczyk7 listopada 2020, 19:25
Zadanie 2

Z założenia zbiór M składa się z dwóch punktów 1 i 2. Zatem każda funkcja f na M jest określona przez zadanie dwóch liczb f(1) i f(2). Funkcje tworzą przestrzeń liniową. W naszym przypadku dodawanie funkcji to dodawanie tych dwóch liczb, zaś mnożenie przez skalar to mnożenie przez skalar tych dwóch liczb.
Rozważmy dwie sczególne funkcje, oznaczę je literami e1 i e2. Zdefioniowane są tak

e1(1)=1, e1(2) =0
e2(1)=0, e2(2)=1.

Dowolna funkcja jest teraz kombinacją liniow tych dwó. W istocie, z definicji mamy:

f = f(1) e1 + f(2) e2

co można sprawdzić obliczając wartość lewej i prawej strony w punktach 1 i 2

Wektory e1 i e2 tworzą bazę, nasza przestrzeń funkcji jest dwuwymiarowa.

Powiedzmy, że X jest wektorem stycznym w punkcie 1. Znamy X gdy znamy jego wartości na wektorach bazy. Powiedzmy X(e1)=x1,X(e2)=x2.

W formule na X(fg) położmy g=f. Powinniśmy mieć wtedy
X(ff)=2X(f)f(1)

Położmy w szczególności f=e1. Wtedy ff=f i powinniśmy mieć

X(f)=2X(f)f(1).

Ale przy naszym wyborze f f(1)=e1(1)=1. Wynika stąd 0=X(f)=x1.
A teraz zróbmy to samo wybierając f=e2.

Dostajemy

X(ff)=X(f)=x2, zaś po prawej mamy 2X(f)f(1) =0, bowiem e2(1)=0. Zatem x1=x2=0, zatem X jest funkcjonałem zerowym. Nie ma innych.
Arkadiusz Jadczyk7 listopada 2020, 19:36
W tych rozwiązaniach mogłem się tu i ówdzie pomylić, jednak ewentualne pomyłki powinno dać się naprawić.
Bjab8 listopada 2020, 14:07
@Arkadiusz Jadczyk 
No i zajefajnie.
Bjab8 listopada 2020, 14:19
Problem z matematyką jest taki, że z czasem w imię zwięzłości poświęca się przesłanie, ideę. Tak jest też chyba i w tym przypadku. Nazwa " wektor styczny" niesie jakieś przesłanie, którego zupełnie nie widać w podanej definicji.
Czasem jednak postęp nie jest sxybki
Bjab8 listopada 2020, 14:26
nie jest szybki i pokutuje osiem aksjomatów (które nie są aksjomatami a własnościami definiującymi) przestrzeni liniowej zależnymi od siebie zamiast sześciu własności niezależnych ale mniej intuicyjnych.
Arkadiusz Jadczyk8 listopada 2020, 15:14
@Bjab 

"Problem z matematyką jest taki, że z czasem w imię zwięzłości poświęca się przesłanie, ideę"

Z grubsza są dwa podejsćia do wektorów stycznych. Pierwsze to skąd się taki bierze, drugie, to co taki robi. W pierwszym podejściu definiuje się wektor styczny jako klasę równoważności gładkich krzywych przechodzących przez dany punkt. Niby trochę jest to poglądowe, ale tylko trochę. Drugie podejście to: co one robią te wektory styczne? Ja wybrałem to drugie. One służą do różniczkowania funkcji. Taka jest ich role, takie zadanie.

A w odpowiedzi na pytanie  Zajtenberga czy ograniczymy algebrę funkcji? Tak, ograniczymy się do rozmaitość a nie dowolnych zbiorów, i ograniczymy algberę funkcji do funkcji gładkich (a już co najmniej różniczkowalnych). Wtedy w szczególności odpadną funkcje zero-jedynkowe, które są równe swemu kwadratowi,  jak w moim roziązaniu zadania 2.
Zajtenberg8 listopada 2020, 20:40
@Arkadiusz Jadczyk
Dzięki za odpowiedź. Przerabialiśmy wektory i formy u Oziewicza, ale wtedy nawet nie wiedziałem, jakie pytania mogę zadawać - na pierwszym roku studiów zakres wiedzy nie jest za wielki. Tak, że pewnie jeszcze jakieś się pojawią.
Komentarz został usunięty