Mistyczne koneksje w matematyce

Na koneksje w wiązkach włóknistach trafiłem po raz pierwszy studiując Analizę Maurina. Maurina lubiłem już wcześniej za jego “Metody przestrzeni Hilberta” (PWN 1959). Jednak to czego Warszawiacy uczyli się na wykładach z Analizy zapierało mi dech w gardle. Bardzo im zazdrościłem. Często jeździłem do Warszawy, do Katedrey Metod Matematycznych, na seminaria. Często z prof. Maurinem rozmawiałem. Zazdrościłem jego uczniom. Gdy o nich mówił, mówił z miłością, jak o własnych dzieciach. Krzysiu to, Lesiu tamto, …. Krzysiu to Krzysztof Gawędzki, Lesiu to Stanisław Lech Woronowicz  (znany skądinąd wśród swoich wspólpracowników i studentów jako “Kot”).

W poprzedniej notce, Einstein i Sufizm, wspomniałem o Sufizmie. Od Sufizmu do Gnozy niedaleko. Profesor Krzysztof Maurin widział matematykę jako mistykę, w szczególności interesowala go Gnoza. Nic dziwnego zresztą, bowiem gnoza to wiedza, tyle, że mistyczna, zatem dla niewtajemniczonych ukryta. Podobnie zresztą jak mistyka teorii liczb, algebry, czy geometrii.

Tak się składa, że pisząc o matematyce i o mistyce Krzysztof Maurin wspominał o grawitacji i o żyroskowpach. To jest to czym się aktualnie zajmuję. Więc z artykułu Maurina p.t. “Mistyka – matematyka – magia”, w piśmie “Gnoza”, zacytuję końcowy fragment dotyczący tych spraw, nad którymi aktualnie pracuję. Oto ten fragment poniżej. Fragment ten zawiera kilka symboli matematycznych. Nie jestem pewien jak miały wyglądać w oryginale.

Koneksje w wiązkach wektorowych możliwych stanów wewnętrznych układu (systemu).
W kosmologii neoplatońskiej — jak wiemy — jest podstawową sprawą spójność Kosmosu, dzięki której można uważać Kosmos za organizm: Wszystkie jego organy są ze sobą powiązane, istnieje — jak to formułowano — koneksja, zwana także złotym łańcuchem (catena aurea).
Matematykowi, a także fizykowi, rzuca się w oczy analogia z podstawowym dla współczesnej matematyki-fizyki pojęciem koneksji — zwanej także przesunięciem równoległym — w wiązce wektorowej.

[A.J. Moja wstawka: w tekscie nad którym aktualnie pracuję “Rotatory” mam takie rozdziały: 2.1.1. Calculation of connection coefficients, 3. Levi-Civita connection on the principal bundle, 4.1. Affine connection, 4.2 Connections on principal bundles]

Fizyka — jak zauważa Manin — interesuje się nie tyle stanami układu, ile raczej (jego) możliwymi stanami. I tak przestrzeń konfiguracyjna układu jest zbiorem możliwych jego stanów. Żyroskop będący w czasoprzestrzeni M posiada w każdej punkto-chiwli mE posiada jeszcze wewnętrzne stopnie swobody: obraca się wokół swej osi obrotu.

[A.J. Moja wstawka: nie mogę się domyślić co było w oryginale zamiast skrótu mE]

W fizyce kwantowej pojawiają się nieklasyczne (tzn. nie posiadające mechanicznych modeli) stopnie swobody, np. spin elektronu. Heisenberg wprowadził pojęcie „wewnętrznej przestrzeni” opisujące stany wewnętrzne cząstki elementarnej. Ogólnie zbiór (przestrzeń) E możliwych stanów wewnętrznych układu jest rodziną E(m), m E M przestrzeni wektorowych parametryzowane przez czasoprzestrzeń M.
Mamy więc do czynienia z parą przestrzeni (rozmaitości różniczkowalnych) E, M oraz odwzorowaniem f : E ® M. Gdy włókna E(m) są przestrzeniami wektorowymi, trójka (E,f,M) nazywa się wiązką wektorową.

[A.J. Jakoś nie mogę dociec co miał oznaczać symbol “m”]

Taka trójka (E,f,M) nazywa się wiązką włóknistą o włóknach E(m)=f -1(m), m Î M.

[A.J. Tu się powoli wyjaśnia. Małe “m” to “zdarzenie”, punkt “czasoprzestrzeni”]

Jak już w roku 1918 zauważył Hermann Weyl, w związku ze swą słynną próbą unifikacji grawitacji i elektromagnetyzmu, włókna E(m), E(m’) nad m i  m’ nie mają ze sobą nic wspólnego. By móc uprawiać geometrię i fizykę, trzeba wiedzieć, czy też stworzyć korelację między włóknami wzdłuż krzywych C w bazie wiązki M (CĚ M).

[A.J.: Krzywa C jest podzbiorem zbioru zdarzeń M]

Ten związek, ta koneksja różnych przestrzeni E(m) nazywa się koneksją w wiązce wektorowej f : E ® M, lub też przesunięciem równoległym wzdłuż krzywych w bazie M. W fizyce, za H. Minkowskim, krzywe C w czasie-przestrzeni M nazywają się liniami świata.
Analogia z neoplatońską „koneksją” — catena aurea — rzuca się w oczy. Możnaby rolę i zadanie człowieka w magicznej kosmologii scharakteryzować i sformułować następująco:
Zadaniem człowieka jest budowanie — tworzenie koneksji wiążących przestrzenie możliwych wewnętrznych stanów Kosmosu [jak można oczekiwać w apokryficznych neoplatońskich Wyroczniach Chaldejskich (Oracula chaldeica) koneksje są boskimi istotami!], nadając — w ten sposób sens światu.

[A.J. To mi się podoba!]

Powróćmy do ogólnego pojęcia wiązki wektorowej f : E ® M. Odwzorowanie p : M ® E takie, że p(m) E Î (m) = f-1(m) nazywa się przekrojem.

[A.J. Znów wzór jakiś skopany brakiem odpowiedniej czcionki. Idzie o to by p(m) leżało we włóknie wiązki nad punktem m.]

Materia w czasoprzestrzeni M jest przekrojem odpowiedniej wiązki wektorowej E ® M, wyznaczającej wewnętrzny stan materii w danym miejscu i danej chwili. Pole fizyczne to koneksja w tejże wiązce wektorowej.

[A.J. Są pola materii i są pola cechowania. Pola materii to “przekroje wiązek wektorowych. Pola cechowania to koneksje. Maurin te ostatnie nazywa “polami fizycznymi”]

Materia wpływa na pole (koneksję), a koneksja, czyli pole, wpływa na materię przesuwając ją (tzn. jej stany wewnętrzne) równolegle wzdłuż linii świata.

[A.J.  Ciekawy sposób patrzenia. W tym sformułowaniu nie przyszedł mi wcześniej do głowy]

I tak grawitacja, tzn. pole grawitacyjne, jest koneksją w przestrzeni możliwych stanów wewnętrznych żyroskopu. Pole elektromagnetyczne jest koneksją w przestrzeni wewnętrznych stopni swobody elektronu kwantowego Diraca. Pole Yanga-Millsa jest koneksją w przestrzeni wewnętrznych stopni swobody kwarka.

[A.J. No i znów zjawił się mój ukochany magiczny żyroskop – relatywistyczna gajka Dżanibekowa. ]

Gajka Dżanibekowa jedzie na olimpiadę