Jak to jedna rzecz prowadzi do algebr Clifforda a druga na manowce

Jak to jedna rzecz prowadzi do drugiej. Nie wiem jak u was, ale u mnie jest to nagminne. Jestem jak ten Jack Reacher, człowiek, który przemierza autostopem Stany Zjednoczone, aby samotnie wymierzać sprawiedliwość.

Nawet jeśli mam jakiś plan, wkrótce zbaczam i ruszam w pozornie przypadkiem wskazanym kierunku. Jednak przypadków tak naprawdę nie ma. Jest jakaś Karma, u każdego inna, i jest czekająca za każdym zakrętem przygoda. I jedna rzecz prowadzi do innej, a ta do jeszcze innej. Za kolejnym zakrętem zabrałem się autostopem za wspomnianą przez Dedę książkę Jacka Komorowskiego „Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów algebr Liego i kwadryk”, PWN, Warszawa 1978.

Co wiem o autorze? Gdy pisał tę książkę pracował w Katedrze Metod Matematycznych Fizyki u prof. Krzysztofa Maurina. W artykule Janusza Czyża „Czas i uniwersyteckie czy uniwersalne bycie Profesora Krzysztofa Maurina (14 lipca 1923 – 14 stycznia 2017)” czytam m.in.:

Emigracja pogrudniowa dla Katedry okazała się dotkliwa. Objęła pięciu habilitowanych i wypromowanych przez, bądź z pomocą, Profesora doktorów: Jacka Komorowskiego, Wiktora i Igora Szczyrbów, Krzysztofa Gawędzkiego oraz Antka Wawrzyńczyka.

Z kolei w artykule Romana Dudy „Emigracja matematyków z ziem polskich”, znajduję Jacka Komorowskiego na obszernej liście 280 nazwisk. Na pierwszym miejscu Warszawa, potem Wrocław. Z emigracją to było tak, że jedna rzecz prowadziła do drugiej. U jednych wcześniej, u innych później. Z PRL-u jednych kierowała do bogatych USA, innych do żywicą płynącej Kanady, jeszcze innych do Francji, Niemiec, Australii, …. Roman Duda kończy swój artykuł ciekawą i ważną obserwacją:

Trudno przy tym oprzeć się wrażeniu, że niejednokrotnie warunki emigra­cyjne nie sprzyjały rozwojowi talentów osób wyjeżdżających, wskutek czego matematyka światowa nie zyskała tyle, ile by mogła przy ich nieskrępowa­nym rozwoju w kraju.

Tak zresztą było też z Einsteinem, któremu pozornie cieplarniane warunki w Princeton jakoś się w wyraźnie widoczny sposób nie przysłużyły.

Ale ja nie o emigracji miałem pisać a o książce, a raczej o jej treści. Bowiem wiąże się ta treść z tym co mnie aktualnie ciągnie i nie wypuszcza z objęć. Siła jakaś – mam nadzieję, że czysta. Książka przyszła pocztą dwa dni temu. Kupiłem na Allegro z antykwariatu Tezeusz. Zatem odłożyłem na bok Chevalleya i Bourbakiego i otworzyłem w książce Rozdział VII - „Algebry Clifforda”. Jest to materiał jakby dodatkowy, „zaawansowany”. Książka ma na początku schemat zależności rozdziałów, w jakiej kolejności studiować, jak to jedna rzecz prowadzi do drugiej, ale do algebr Clifforda żadna z tych rzeczy nie prowadzi, chociaż Komorowski pisze, o interpretacji fizycznej algebr Clifforda, że

„Prowadzi ona do spinorów albo, inaczej, do reprezentacji spinorowej algebry Clifforda. Przy tej okazji pojawiają się tak charakterystyczne dla mechaniki kwantowej macierze Diraca.”

Zabieram się więc do studiowania z zapałem. I już po kilkunastu linijkach zacinam się. Nie rozumiem.

A powinienem rozumieć. Bo niby trochę już wiem... Definiuje bowiem Komorowski algebrę Clifforda jak trzeba, może trochę mniej ogólnie niż Chevalley i Bourbaki, bowiem algebra Clifforda u Komorowskiego jest definiowana dla przestrzeni wektorowej V nad ciałem o charakterystyce różnej od 2, wyposażonej w formę kwadratową Q, zaś Bourbakiści robią to ogólniej, dla modułu nad pierścieniem z jednością. Zrobiłem kopię stron 120, 121 – można sobie ją ściągnąć w czytelnej rozdzielczości klikając tu;

Rozumiem wszystko aż do formuły (VII.1.2) na str 120 włącznie. Potem jednak Komorowski pisze:

„W dalszym ciagu będziemy – o ile to nie będzie prowadziło do nieporozumień – pisać t zamiast rho(t), gdzie t jest elementem V.”

Ale tak robić nie wolno, dopóki się nie udowodni, że rho jest wzajemnie jednoznaczne na V. A Komorowski tego nie udowodnił. I to ciągnie się dalej, kiedy na str 121, na początku paragrafu 2, Komorowsk pisze „

„Oznaczmy przez i kanoniczną injekcję z V w C(Q)”

Ale nigdzie nie zostało pokazne, że jest to injekcja! Ani Bourbaki ani Chevalley tak nie robią. Oni najpierw zaznaczają, że to włożenie nie musi być zawsze injekcją, choć w przypadku przestrzeni wektorowej jak u Komorowskiego akurat jest – co się dowodzi, tak czy inaczej. I dowód bynajmniej nie jest trywialny.

Zostawiam więc Komorowskiego na boku. Mogła to być taka specyficzna atmosfera w Katedrze Metod Matematycznych Fizyki. Że mianowicie myśli się trochę na skróty. I na skróty się pisze. Może to ma dla niektórych ludzi pewne zalety. Dla mnie nie ma. Mnie denerwuje. I myślę, że ogólnie, usypia czujność. A czujnym trzeba być stale.

Zwłaszcza gdy się samotnie podróżuje autostopem przez Galaktykę.