Dlaczego kwaterniony

Prawdę mówiąc miałem w planie pisać dziś o czym innym. Mam jednak siły szybkiego reagowania. Tichy w swym komentarzu pod poprzednią notką zadał pytanie o antykomutacje. Myśląc o tym przypomniałem sobie jednocześnie uwagi Ludwiczka69 o tym, że fizyka i matematyka „... to dwie odrębne sprawy.

Fizyka i matematyka to dwie odrębne sprawy. Jedna parzy druga nie.

Pomieszanie wygeneruje paradoksy.” Ja fizykę i matematykę mieszam codziennie i mi paradoksów to nie generuje. Pomyślałem zatem, że pomieszam dalej, by zobaczyć co z tego wyniknie.

Kwaterniony mi się wmieszały do obrotów. Zresztą nie tylko mi. Kwaternionami posługuje się wielu obracających, w grach komputerowych, w grach robotów, w sterowaniu obiektami w przestrzeni. Oczywiście kwaterniony to matematyka i, prawdę mówiąc, zostały wymyślone nie po to by czymś obracać. Hamilton chciał po prostu wiedzieć jak mnożyć punkty przestrzeni. Też mieszał matematykę z fizyką, no i kwaterniony to jeden z płodów tego mieszania. Jak to się stało, że akurat przydają się do obracania? Dlaczego, skąd? Co mają wspólnego reguły mnożenia urojonych jednostek i,j,k z obrotami w przestrzeni?

Warto znać odpowiedź na to pytanie, choćby dla kultury ogólnej. I stąd ta notka. A jednocześnie będzie to krok ku odpowiedzi na problem postawiony przez Tichego.

Czasem, może nawet często, by jakiś problem zrozumieć, warto go poszerzyć. By zrozumieć malarstwo renesansowe, dobrze jest zapoznać się z malarstwem w innych wiekach. By zrozumieć sens i własności liczby 3, dobrze jest poznać też liczby sąsiednie 1,2,3,4,5, może nawet 33. Oczywiście nadmiar wiedzy może wprowadzać niepotrzebne zamieszanie, potrzebny jest więc, jak zresztą zawsze, rozsądek i umiar.

By zrozumieć skąd się wziął u kwaternionów związek z obrotami, trzeba, chcąc nie chcąc, zajrzeć do algebr Clifforda. Algebry Clifforda wiążą geometrię z algebrą. Algebry Clifforda nie troszczą się tym ile wymiarów ma przestrzeń czy czasoprzestrzeń czy hiperprzestrzeń. Dla każdego wymiaru i dla każdej sygnatury jest odpowiednia algebra Clifforda i bardzo prosto ją skonstruować. Nie będę tego robił, bo mi to niepotrzebne. Wystarczy, że powiem iż algebra dla wymiaru n ma wymiar 2 w potędze n-tej i że składa się z wielowektorów. Zero-wektory to skalary, wymiar 1, dalej wektory, wymiar n, dalej dwu-wektory, wymiar n(n-1)/2, dalej trzy-wektory itd. Na końcu są n-wektory, znów wymiar 1. Te wymiary rożnych przestrzeni wielowektorów dodają się i dają w sumie 2ⁿ – wymiar algebry Clifforda.

Nas interesuje n=3, bo nasza przestrzeń jest trój-wymiarowa. Oczywiście mieszam tu fizykę (nasza przestrzeń) z matematyką (liczba 3), i będę mieszał nadal. Dla n=3 mamy

0-wektory 1 wym

1-wektory 3 wym

2-wektory 3 wym

3-wektory 1 wym

Razem 1+3+3+1 =8. Zatem algebra Clifforda naszej trójwymiarowej przestrzeni ma 8 łącznie wymiarów. Osiem wymiarów to wymiar algebry macierzy zespolonych 2x2. I faktycznie algebra Clifforda trójwymiarowej przestrzeni to nic innego niż owa algebra macierzy 2x2 (dokładniej, należałoby powiedzieć, że jest izomorficzna). Pisałem już zresztą kiedyś, w serii Maxwell i Kwaterniony i dalej, teraz w wielkim skrócie powtórzę, choć tylko to i owo i nieco inaczej.

Dobrym punktem wyjścia są macierze Pauliego. W notce Spin doktor przytaczałem fragment z  Kryszewskiego:

Zamiast sigm będę dziś pisał po prostu s1,s2,s3. Kwadrat każdej z nich to jedynka, generują zatem algebrę Clifforda przestrzeni Euklidesowej o sygnaturze +1,+1,+1 – zatem „tej naszej”. Są ze sobą antyprzemienne, s1 s2 = - s2 s1 itd. Mamy przy tym s1 s2 = i s3, s2 s3 = i s1, s3 s1 = i s2, s1 s2 s3 = i. Zatem rzeczywiste kombinacje ich iloczynów rozpinają całą przestrzeń macierzy zespolonych 2x2. Jest to więc nasza algebra Clifforda.

Algebrę Clifforda już mamy, obrotów i kwaternionów jeszcze nie mamy. Jednak ogólnie,w algebrach Clifforda obrotami zawiaduje parzysta podalgebra. Czyli podalgebra generowana przez iloczyny parzystej liczby generatorów. W naszym przypadku będzie to podalgebra (rzeczywista) rozpinana przez jedynkę i przez i s1, i s2, i s3. I one to właśnie mogą reprezentować kwaterniony i,j,k.

Z postaci macierzy i s1, i s2, i s3 wynika, że najogólniejsza rzeczywista kombinacja liniowa tych macierzy i macierzy jednostkowej to macierz 2x2 postaci

u v

-v* u*

gdzie u i v to liczby zespolone, zaś u*,v* to ich zespolone sprzężenia. I to jest zatem ogólna postać kwaternionów zanurzonych w macierze zespolone. To powinno wystarczyć do wyprowadzenia z rozwiązania rumuńskiego dla ogólnych macierzy zespolonych rozwiązania dla kwaternionów, o co pytał Tichy.

No i przy okazji dowiedzieliśmy się, dla ogólnej kultury,

że kwaterniony to tylko szczególny przypadek parzystej algebry Clifforda, zaś grupa kwaternionów o normie 1, to tylko szczególny przypadek ogólnej grupy Spin dla dowolnego wymiaru i dowolnej sygnatury – jak to robią spece od algebr Clifforda.

W następnej notce zajmiemy się bliżej polami wektorowymi generowanymi przez obroty i obrotami generowanymi przez pola wektorowe.