Elipsy i ich równania

Jest anioł geometrii i jest diabeł algebry. Jeden bez drugiego obejść się nie może. Diabła dotąd omijałem z daleka, czas jednak by go wprowadzić na scenę. Zrobię to jednak łagodnie, krok za krokiem, by nie wywołać paniki.

Weźmy prostą elipsę, taką jak ta:

Elipsa ta ma dwie półosie: półoś poziomą, a, o długości 1.5, oraz oś pionową, b, o długości 2. Będę pisał po prostu a=1.5, b=2.

Elipsę tą możemy przedstawić równaniem:

x²/a² + y²/b² =1,

a konkretnie, w przypadku na obrazku:

0.44444 x² + 0.25 y² =1.

Gdybyśmy mieli a=1 i b=1, byłoby to równanie okręgu x² + y² =1.. Gdy a jest różne od b, mamy elipsę z prawdziwego zdarzenia. Jeśli chcemy taka elipsę narysować używając jakiegoś programu komputerowego rysującego grafy funkcji, dobrze jest taką elipsę przedstawić w postaci parametrycznej, w biegunowym układzie współrzędnych (r, phi) gdzie

x = r cos(phi)

y = r sin(phi)

Równanie elipsy ma wtedy postać

x = a cos(phi)

y = b sin(phi)

zaś phi zmienia się od 0 do 2 Pi, lub od -Pi do Pi – jak kto woli.

Co będzie jednak gdy naszą elipsę obrócimy, np. o 45 stopni w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Wyjdzie obrócona elipsa:

Jakie równanie przedstawia tą obróconą elipsę? Otóż przedstawia ją równanie:

0.347222 x² - 0.194444 x y + 0.347222 y² = 1.

Oprócz kwadratów pojawił się także człon z iloczynem xy. I tak będzie przy obrocie o dowolny kąt (no, chyba, że kąt obrotu wyniesie 90 lub 270 stopni - wtedy x i y po prostu zamienią się miejscami ). Równanie każdej elipsy (o środku w początku układu współrzędnych) ma postać:

Ax² + 2B xy + C y² =1.

Wygodnie jest napisać współczynnik przy xy jako 2B a nie po prostu B. Dlaczego tak jest wygodnie? To się wkrótce okaże.

Pojawiają się natychmiast dwa pytania:

Czy każde równanie postaci Ax² + 2B xy + C y² =1 przedstawia elipsę?
Jeśli równanie przedstawia elipsę, to jak ze współczynników A,B,C odczytać długość półosi tej elipsy i kąt o jaki została obrócona.

By odpowiedzieć na te dwa pytania będziemy musieli oswoić się nieco z diablikiem algebry, konkretnie z macierzami, tym samym diablikiem z którym mieliśmy już okazję się spotkać przy okazji dyskutowania „Początku, który jest wszędzie.”

Z równaniem Ax² + 2B xy + C y² =1 zwiążemy macierz kwadratową o dwóch wierszach i dwóch kolumnach:

[A B]

[B C]

Z tej macierzy wszystko da się odczytać, na obydwa pytania odpowiedzieć. Bez macierzy ani rusz nie da się dyskutować ani geometrii Riemanna ani krzywizny ani kwantów ani grawitacji. Diabeł, który wymyślał i wprowadzał do obiegu macierze pewnie nawet nie zdawał sobie sprawy z tego jak Belzebuba to ucieszy!