Parabole

Byłem wtedy świeżo upieczonym, tuż po dyplomie magisterskim, fizykiem matematycznym, a już dostałem prowadzenie wykładu dla przyszłych nauczycieli matematyki, Takie to były czasy. Wykładałem podstawy geometrii na podstawie monografii „FOUNDATIONS OF GEOMETRY „ Karola Borsuka i Wandy Szmielew (sic!). W swoim osobistym dzienniku pisałem (zachowuję oryginalną interpunkcję i układ):

Ruszę jak huragan jak burza

Moim hobby jest szybkość

Ruszę w grzmocie potężnym

zamyślenia.

Oto już. Oto ruszam. Z rosnącym przyśpieszeniem

Ruszyłem p ę d z ę na wprost

oszalały świat

Oto ja mały i niepozorny naprzeciw

świata oszalałego. Oto ja pędzę na wprost

poprzez drobiny materii

przebijam się bez strat

Energię zbieram z dokoła

z rzeczywistości z nicości

z takiej i takiej z wszelakiej

ja – Wielki ja – Potężny

ja – energia szybkości

jeden nad pierwiastek kwadratowy

z jedności mniej v kwadrat nad c kwadratowy

asymptotycznie dążę do nieskończoności

po spiralnym łuku paraboli

prędzej niż zwija się Wszechświat

dochodzę wreszcie do krańca

i wylatuje po stycznej

w Nicość.

Lecz sam nie jestem nicością

sam – jestem Wszechświatem

Zakrzywia mój tor potężna siła

Której opiera się ma energia

Energia ważka i bezwładna

jestem kwantem Wszechświata

ja jestem. Ja – grafoman. Ja – oszust. Ja -wspaniałe zero

ja – wspaniałe wszechpotężne nic

które oto z wyroków swoich własnych stałem się

przedłużeniem Wszechświata.

I ciągnę go za sobą

posłuszny

Ja wiem. To tylko posłuszeństwo. Lecz chyba

największe z dostępnych Istocie Ludzkiej.

A zresztą:

posłuszeństwo jest relacją zwrotną

Więc nie nad czym rozpaczać.

A teraz?

Teraz ruszyłem właśnie. Przede mną nieskończone

zwoje spirali.

Czekają na mnie.

Ja ja.

Mamy więc słowa kluczowe: szybkość, przyśpieszenie, krzywizna, styczna, parabola. O tym wszystkim, zachęcony przez Einego (choć nie tylko z tego powodu) będę pisał. Dziś będzie o styczności. Jutro o głębszej styczności – o całowaniu się: o tym, jak okrąg całuje się z parabolą.

Przyniosła dziś poczta dwie nowe książki. Pierwsza to „Luba Gurdjieff. A memoir with Recipes”

Luba Gurdjieff

No, recepty w moich notkach będą: recepty jak wyliczać krzywiznę.

Druga, bardziej odpowiadająca interesującej nas tu tematyce książeczka to „Faust w Kopenhadze. Walka o duszę fizyki”:

Widzimy tu na obrazku różnego rodzaju krzywe, tory pozostawione w emulsji fotograficznej przez cząstki elementarne. Czy te krzywe istnieją naprawdę, są jakoś zakodowane w tkaninie z której zrobiony jest wszechświat? Czy może są tylko wytworem chorej wyobraźni matematyków?

Och, pytania, pytania, niekończące się pytania.

Wikipedia uprzejmie informuje:

„Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. Rysunek).”

Do danej krzywej, w danym punkcie, jest tylko jedna no styczna. No, chyba, że krzywa jest dzika, jak ta epicykloida:

W punkcie gdzie krzywa przecina się z samą sobą, nie wiadomo, która prosta jest styczna, ta czerwona czy ta niebieska, czy może obie (mój rysunek stycznych jest niedokładny, odręczny, naciągany). W porządnym towarzystwie o dzikich krzywych się nie rozmawia. I my rozmawiać o nich nie będziemy.

Jeśli krzywa na płaszczyźnie zadana jest równaniami parametrycznymi:

(x(t), y(t))

jak na przykład okrąg

x(t) = cos(t),

y(t) = sin(t)

lub, powiedzmy, parabola

x(t) = (t²+ 1)/2

y(t) = t

Wtedy styczna do krzywej w punkcie (x(t),y(t)) ma kierunek wektora o składowych (dx(t)/dt, dy(t)/dt). No fakt, trzeba umieć różniczkować, ale kto w dwudziestym pierwszym wieku różniczkować nie umie, skoro nawet starożytni (jak np. Newton; nie wiem jak to było z Sumerami) to znali?

Oto dwie styczne do okręgu – w dwóch różnych punktach:

A oto trzy styczne do naszej paraboli – w trzech różnych punktach.

Zastanawiano się kiedyś podobno nad tym ile aniołów zmieści się na główce od szpilki. Zadajmy sobie podobne pytanie: no, dobrze, przez dany punkt okręgu przechodzi tylko jedna prosta styczna do tęgo okręgu. A co, jeśli odwrócimy pytanie: przez dany punkt prostej ile okregów stycznych do tej prostej przez ten punkt przechodzi? O tej scholastyce wszak następnym razem.