Zadał BJAB pod ostatnią notką niewinne pytanie: „Czy pojedyncza kropla, w czasie, obraca się wokół (0,0) ?” No i otworzył puszkę Pandory.
ale ma też wersje poważniejsze. Jak ta:
Czas to pozorny (albo i nie) ruch Słońca. To ruch planet, to fazy Księżyca. Czas płynie nieubłaganie a wraz z czasem wszystko ulega zmianie. Interesują nas zmiany mechaniczne, takie opisywane równaniami ruchu Newtona. Jednak Newton to fizyka klasyczna, a my pętamy się wokół mechaniki kwantowej. Najbliższe mechanice kwantowej jest ujęcie równań ruchu nie w formie Newtona: przyśpieszenie i siła, lecz w formie Hamiltona. U Hamiltona podstawowa jest przestrzeń fazowa: położenia i pędy. Zarówno położenie jak i pęd zaczynają się od literki „p”. Tak ja „puszka” i tak jak „Pandora”. A przestrzeń fazowa z angielska nazywa się „phase space”. Jeszcze jedno „p”. Za dużo tych p by można było obarczyć winą przypadek. Ooo, przypadek, jeszcze jedno p. A wszystkie siedzą w jednej puszce! Język polski dziwny jest.
Zajmiemy się przypadkiem najprostszym, gdy mamy jeden tylko stopień swobody: cząstka porusza się po linii prostej. Położenie oznaczymy literką q, pęd literką p. W ujęciu Hamiltona by zadać dynamikę nie zadajemy sił, jak to było u Newtona. Zadajemy energię jako funkcję od q i od p. Potrzebna nam jest więc funkcja H(q,p). Zazwyczaj jest to suma energii kinetycznej i potencjalnej. Zazwyczaj energia kinetyczna to po prostu p2/2m, zaś energia potencjalna to jakieś V(q). Wtedy
H(q,p) = p2/2m + V(q).
Równania ruchu w formie Hamiltona mają postać (obrazek z Wikipedii):
My zajmujemy się jednym stopniem swobody, więc indeks imożna sobie darować.
Co więcej, to z będę traktował jak wektor kolumienkę. Mamy więc dwuwymiarową przestrzeń ze współrzędnymi q,p, W niej wektory z. Taki wektor z ma dwie składowe z1,z2 :
z1= q
z2= p
Zajmowanie się ogólną dynamiką to problem nie na nasze siły. Uprośćmy więc sobie. Inaczej wpadniemy do puszki i już się z niej nie wygrzebiemy. Skorpiony nas zakłują. Zatem ostrożnie, ubieramy się w skorpiono-odporny kombinezon i ograniczmy się do kwadratowych Hamiltonianów.
Co to jest kwadratowy Hamiltonian? Czemu kwadratowy a nie okrągły? No a czemu funkcja kwadratowa nazywa się kwadratowa?
Kwadratowy Hamiltonian to taki, co jest funkcją kwadratową (wielomian drugiego stopnia od p i q. Używając z-tów możemy taki Hamiltonian zapisać jako:
gdzie h jest macierzą symetryczną (będziemy zakładać, że jej składowe nie zależą od czasu t). H jest funkcją kwadratową od z, zatem pochodne H po z będą funkcjami liniowymi
W jednym z równań Hamiltona jest minus. W drugim z nich go nie ma. Stąd się bierze idea wprowadzenia macierzy J zdefiniowanej jako
0 1
-1 0
Zauważmy, że JT=-J, J2 = -1.
Teraz nasze równania dynamiki Hamiltona dają się zapisać jednym równaniem:
dz/dt = Jh z
Oznaczmy Jh = X.
Macierz h jest rzeczywista i symetryczna. Stąd wynika, że macierz X ma własność
JX + XTJ = 0
Stąd wynika, że macierz X ma ślad 0. Wynika? A jak? A prosto. Zadanko do domu.
Na odwrót, każda taka macierz X definiuje kwadratowy hamiltonian. Wystarczy położyć h = -JX. Równania ruchu Hamiltona mają teraz prostą postać:
dz/dt = Xz
Takie równanie ma proste rozwiązanie:
z(t) = M(t) z(0)
gdzie M(t) = exp (tX)
Macierz M(t) jest macierzą rzeczywistą o wyznaczniku 1. Skąd to wynika? O tym w kolejnej notce. No, chyba, że ktoś potrafi sam do tego dojść.....
Na razie robimy dynamikę klasyczną. Ale to wszystko będzie jak znalazł także dla dynamiki kwantowej.
Komentarze
Pokaż komentarze (21)