Ech, te macierze

 

 

Oto fragment pięknego wpisu na forum http://www.kobieta50plus.pl/

 

 

Ech, ta droga... Napisano o niej tysiące pieśni we wszystkich językach świata. Nie ma chyba poety, który by o drodze nie pisał. Cóż jeszcze można dodać, gdy na pamięć ciśnie się tekst wojennej piosenki: ech, ta droga, tonie we mgłach, w koło chłód i trwoga... Oto polna droga na Kresach, może Mazowszu lub Kaszubach. Piach, rozjeżdżone koleiny, samotna wierzba czy grusza. A ja widzę jesienne błoto albo wiosenne roztopy, ciężkie wozy z trudem wyciągane z tego błota i podpierane, by koń zdołał je pociągnąć. Pomagają mu żołnierze francuscy, włoscy lub polscy spod znaku Napoleona. ,,,,

 

Droga jest nieskończona. Podobnie jak macierze a i a* z poprzedniej notki Ku kwantowej teorii przyszłości. Ta nieskończoność sprawiła kłopot jednemu z szacownych czytelników. Chciał zrozumieć a nie był w stanie. Napisał m.in.:

 

 

2. Uczeń wie jak się wykonuje obliczenia ma macierzach wyłączając macierze nieskończone

 

To fakt, że Nieskończone Macierze nie mieszczą się w arkuszach kalkulacyjnych Excela. Nieskończoność tonie we mgłach i wieje trwogą.

 

Jednak nie taki diabeł straszny jak go malują. A malują go tak (tym razem przytaczam macierze a i a * z angielskiej Wikipedii, są bardziej estetyczne niż te dość prymitywnie namalowane przeze mnie w poprzedniej notce)

 

 

Jasne, że nie zmieszczą się w Excelu. Kropki oznaczają bowiem „i tak dalej, bez końca”. Nasz umysł rozumie „i tak dalej, bez końca”, Excel nie rozumie, bo algorytmy muszą mieć koniec. Nasz umysł nie jest całkowicie algorytmiczny, ma w sobie coś z niealgorytmicznej otwartości w nieskończoność.

 

Jaka na to rada? Co możemy zrobić by jednak móc Excela użyć na tyle, na ile się da, zaś niealgorytmiczność dołożyć dopiero na samym końcu w czerwonej matrixowej pigułce, która by była do przełknięcia?

 

Droga się wije, być może jest bez końca, nie przeszkadza nam to jednak w przemierzaniu jej krok po kroku.

 

Krok po kroku. Wtedy i nieskończoność nie przeraża. Przypuśćmy, że nasze macierze urwiemy, niechaj będą, powiedzmy 4x4:

 

a = 

 

 

 

 

 

 

 

a* =

 

 

 

 

 

 

 

Te zmieszczą się w Excelu i możemy wyliczyć aa* i a*a:

 

aa* = 

 

a*a =

 

 

Możemy też wyliczyć komutator

 

[a,a*] = aa* - a*a

 

 

To samo możemy zrobić dla macierzy 10x10

 

a =

 

 

a* =

 

 

[a,a*] = 

 

 

Nasz umysł zaczyna widzieć regułę, inaczej „prawidłowość”. Z tym nie ma raczej problemu. Problem mamy z ogarnięciem „nieskończoności”. Widzimy, że nasz komutator [a.a*] jest „niemal” macierzą jednostkową, wszystko jest jak trzeba, z wyjątkiem jednego elementu w prawym dolnym rogu. Gdy nasze macierze powiększamy i powiększamy, ten prawy dolny róg przesuwa się. „Niedobry” element przy tym rośnie.

 

Ale co to jest macierz nieskończona? Macierz nieskończona to macierz, która prawego dolnego nie ma! Dlatego eleganckie obrazki macierzy a i a* mogą być nieco mylące. Na nich jakby prawy dolny róg był, i w nim stała jakaś tajemnicza kropka! Nie, macierz nieskończona to taka, której każdy element jest w wierszu o skończonym numerze i w kolumnie o skończonym numerze, tyle, że nie ma ograniczeń na to jak wielkie mają być te numery.

 

Dlatego dla macierzy nieskończonych [a,a*] = I jest, w tym sensie, prawdziwe.

 

Uwaga: Powyższe wyjaśnienia tematu bynajmniej nie wyczerpują. Sprawy się komplikują gdy zechcemy interpretować nasze macierze jako „operatory”. Pojawi się wtedy pytanie: na jakiej dziedzinie powinny być one określone. Wtedy wchodzimy na obszar analizy funkcjonalnej. W moich notkach będę starał się tego unikać. To ważne, ale jedynie dla ekspertów.

 

Janusz Gorzów zadał więcej pytań. Będę na nie odpowiadał w następnych notkach.