Geometria Ostatniej Wieczerzy

G jak „geometria”, G jak „grupa”, G jak „graf”. No i liczba 12, rząd grupy, którą poznaliśmy w ostatniej notce. Nie wiemy jeszcze jakiego rodzaju symetrię ta nasza dwunasto-elementowa grupa opisuje. Lecz liczba 12 jest, z jakiegoś powodu, nieco osobliwa.

Z Wikipedii:

Zastosowanie systemu dwunastkowego w historii i obecnie

System dwunastkowy używany był na Bliskim Wschodzie[potrzebne źródło]; w Babilonii używano go równolegle z systemem dziesiętnym, z tym, że system dwunastkowy (o zapisie pozycyjnym) stosowano przy skomplikowanych obliczeniach (np. w zakresie astronomii), zaś systemu dziesiętnego używały szerokie masy ludności w życiu codziennym (aramejski system liczbowy)

Mamy dwanaście miesięcy w roku, było ponoć dwunastu Apostołów. Leonardo da Vinci namalował ostatnią wieczerzę. Jak pisze Zenon Kuczera w „Racjonaliście”:

Na „Ostatniej Wieczerzy" widoczne są dwie podobne postacie: Jezusa siedzącego w centrum i Judasza (druga osoba od prawej strony obrazu). Temat Jezusowego bliźniaka był przedstawiony w kilku dziełach Leonardo da Vinci oraz był podejmowany przez francuskiego malarza Nikolas Poussin i współczesnego powieściopisarza Michela Tournier. Ponadto w arcyciekawym kościele we francuskiej miejscowości Rennes-le-Château były proboszcz Bérenger Saunire zamówił dekorację, która po obu stronach ołtarza głównego przedstawia Marię i Józefa: każde z nich trzyma na rękach maleńkiego Jezusa.

No, bez przesady. W Rennes-le-Château byłem, „arcyciekawe” rzeczy widziałem. Nic w nich arcyciekawego nie zobaczyłem. Zwykła atrakcja turystyczna ściągająca rzesze adeptów „New Age. No i nie „ Saunire” a Saunière.

A Leonardo malował ( w refektarzu kościoła Santa Maria delle Grazie w Mediolanie)rzecz całą tak:

Leonardo da Vinci Ostatnia Wieczerza z imionami

W sieci znaleźć można wiele różnych analiz tego obrazu. Nas, tutaj, interesuje aspekt geometryczny.Jakiejże to geometrii można się w nim dopatrzeć? Witryna www.saylor.org oferuje kursy historii sztuki. Na youtube znajdujemy omówienie omówienie Ostatniej Wieczerzy namalowanej przez da Vinci:

Tekst wykładu można znaleźć osobno: Leonardo's Last Supper. Interesuje nas przede wszystkim ten fragment:

Trinity

The twelve apostles are arranged as four groups of three and there are also three windows. The number three is often a reference to the Holy Trinity in Catholic art. In contrast, the number four is important in the classical tradition (e.g. Plato’s four virtues).

Mowa tu o Trójcy i o tym, że Leonardo zaaranżował apostołów w cztery grupy po trzech apostołów w każdej grupie. Mamy więc tutaj chrześcijańską trójkę i platońską czwórkę.

No, no. A jak to jest z naszą grupą dwunastkową? W komentarzu do ostatniej notki Kenny McKormick podał tabliczkę mnożenia:

A w samym tekście notki ja pokazałem taki obrazek:

Cayley graph A4

Cztery grupy po trzy elementy w każdej grupie. (W zdaniu tym słowo „grupa” występuje w znaczeniu potocznym, jak „grupa ludzi”). Jaki jest związek tego obrazka z tabliczką mnożenia?

A taki:

A4 diagram Cayleya

Punkty na grafie (tzw. diagram Cayleya grupy) oznaczyłem słowami złożonymi z liter a,b, tymi, którymi zajmowaliśmy się w poprzedniej notce. Linie niebieskie, ze strzałkami, oznaczają mnożenie z prawej strony przez a. Linie czerwone oznaczają mnożenie z prawej strony przez b. Ponieważ w naszej grupie b² = e, zatem mnożenie dwukrotne przez b powraca nas do punktu wyjścia. Każda linia czerwona winna mieć więc dwie przeciwnie skierowane strzałki. Można je też w ogóle opuścić i po prostu o tym pamiętać. Taka umowa. I taka jest umowa stosowana na tym obrazku.

Teraz, skrupulatny Czytelniku, zechciej sprawdzić, choćby i na paru mniej oczywistych punktach, czy ten diagram zgadza się z tabliczką mnożenia. Lepiej by było dla niego (i dla tabliczki), żeby się zgadzał.

Diagramy dla danej grupy mogą być różne. Diagram grupy zależy od wyboru generatorów. My wybraliśmy a i b, o takich a nie innych własnościach. Wyszedł nam taki diagram. Kto inny może wybrać inne generatory, w innych relacjach. Będzie miał inny diagram. Jeden diagramy są estetycznie milsze od innych. Każdy daje nam jakąś tam wizualną informację o strukturze grupy.

Podobnie jak z Ostatnią Wieczerzą. Surrealista Salwadore Dali malował „Sakrament Ostatniej Wieczerzy”tak:

W jednym ze swoich esejów (The peacock's tail) o matematyce i kulturze, bloger Theodoros Pavlopulos, pisze tak:

„Earth, air, water and fire were, according to Platonic philosophy, the four basic elements of which everything in the universe is composed. Plato assigned to each of those, on a rather intuitive basis, a regular solid: the sharp tetrahedron for the fire; the spinning octahedron for the air; the stable cube for the earth; and the rolling icosahedron for the water. Plato thought of the fifth possible regular solid, the dodecahedron, as what “…God used for arranging the constellations on the whole heaven” (Timaeus 55), a geometric solid representing the universe. In the “Sacrament of the Last Supper”, Salvador Dali positions the final meal of Jesus and the Apostles inside a room shaped as a dodecahedron, possibly to signify the cosmic proportions of the event.

Mamy zatem znów Platona, widzimy jednak, że Dalego pociągała również liczba pięć i dwunastościan foremny (ang. dodecahedron). A i ja dwunastościan foremny lubię. Pojawi się on już niedługo, przy okazji kwantowych fraktali.