Cztery kąty, a piec piąty

 

Zabawa Cztery kąty, a piec piąty.

 

Prowadzący dzieli uczestników na pięć równolicznych grup. Każda z grup zajmuje jeden kąt w sali, zaś jedna grupa środek sali, czyli ,,piec". Nauczyciel czyta lub opowiada jakąś historyjkę. Gdy podczas historyjki padną słowa(zupełnie nie związane z kontekstem),,cztery kąty, a piec piąty" - wszystkie grupy muszą zmienić się miejscami. Zadanie utrudnione jest tym, że wszyscy trzymają się za ręce i trzeba jednocześnie zdecydować się na dany kąt. Oczywiście ,,piec" stojący na środku stara się wykorzystać sytuację i zajmuje miejsce w kącie. Grupa, która została na środku, zostaje nowym ,,piecem" i zabawa toczy się dalej.

 

Grup to na moim blogu ostatnio pod dostatkiem. Także do czterech już nauczyliśmy się liczyć. W ostatniej notce wyrysowaliśmy cztery płaszczyzny rozpięte na wierzchołkach sześciennej kostki, z wykluczeniem wierzchołka o współrzędnych kartezjańskich (1,1,1). Przypomnę jak wyglądają:

 

 

Na wierzchołki sześcianu, a zatem także na rozpięte przez te wierzchołoki płaszczyzny, działa 24-elementowa grupa. Każda transformacja z tej grupy pozostawia wierzchołek (1,1,1) – ten „najdalszy od początku układu współrzędnych” nieruchomym. Oczywiście także nie rusza punktu (0,0,0) – bo transformacje są liniowe (modulo 2). Za to coś robi z pozostałymi sześcioma wierzchołkami. A konkretnie co?

 

Oto 24 macierze 3x3 naszej grupy – tak je jakoś w kolejności ustawiłem, ustawienie nie ma znaczenia. Jak widać macierz jednostkowa wypadła akurat na piętnastym miejscu.

 

 

1) [[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]],

2) [[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 1, 1]],

3) [[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]],

4) [[0, 0, 1], [1, 0, 0], [1, 1, 1]],

5) [[0, 0, 1], [1, 1, 1], [0, 1, 0]],

6) [[0, 0, 1], [1, 1, 1], [1, 0, 0]],

7) [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]],

8) [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]],

9) [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]],

10) [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [1, 1, 1]],

11) [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]],

12) [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [1, 0, 0]],

13) [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]],

14) [[1, 0, 0], [0, 0, 1], [1, 1, 1]],

15) [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]],

16) [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [1, 1, 1]],

17) [[1, 0, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]],

18) [[1, 0, 0], [1, 1, 1], [0, 1, 0]],

19) [[1, 1, 1], [0, 0, 1], [0, 1, 0]],

20) [[1, 1, 1], [0, 0, 1], [1, 0, 0]],

21) [[1, 1, 1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]],

22) [[1, 1, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]],

23) [[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 0, 1]],

24) [[1, 1, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]].

 

Ponumerowałem nasze cztery ściany w kolejności jak na obrazku: 1,2,3,4. Następnie sprawdziłem jak każda z 24 transformacji te ściany przedstawia. No, „sprawdziłem” to za mocno powiedziane. Kazałem komputerowi to wyliczyć! Czyli: jak przestawia 1,2,3,4. I co wyszło? Wyszło coś takiego:

 

1) 3214

2) 3241

3) 3124

4) 3142

5) 3421

6) 3412

7) 2314

8) 2341

9) 2134

10) 2143

11) 2431

12) 2413

13) 1324

14) 1342

15) 1234

16) 1243

17) 1432

18) 1423

19) 4321

20) 4312

21) 4231

22) 4213

23) 4132

24) 4123

Transformacja 15, element neutralny, jedność, transformacja identycznościowa, ta niczego nie przestawia. Ściana 1 przechodzi w ścianę 1, ściana 2 w ścianę 2, itd. Jak należało oczekiwać. Natomiast każda inna jakoś przestawia. Otrzymujemy w ten sposób wszystkie 24=4!=4x3x2x1 permutacje ciągu liczb (1,2,3,4).

 

Wniosek: nasza 24-elementowa grupa jest identyczna z grupą permutacji zbioru cztero-elementowego. Ta nazywa się też zwykle grupą symetryczną. W naszym przypadku, gdy działa na zbiór cztero-elementowy, oznaczana jest symbolem S₄ lub S(4).

 

Zidentyfikowaliśmy więc 24-elementową podgrupę naszej 168-elementowej grupy wszystkich symetrii geometrii Fano. Odnotowujemy zatem pewien postęp.

Możemy więc postawić i zając się kolejnymi nasuwającymi się pytaniami. Takimi jak np. to:

 

Jak wyjaśnić te zjawiska? Z jaką geometrią są związane? Co tu jest "permutowane"? Modulo co?