Na początku była ... nieskończoność

Na początku była nieskończoność, utkana ze światła, a światło wychodziło z punktu Omega. Następnie nieskończoność zaczęła parować. Z tej pary powstał „nasz świat”, świat nam bliski, ale od punktu Omega i otaczającej go nieskończoności nieskończenie odległy. Dziś przyjmujemy ten świat za jedyny rzeczywisty a nieskończoność, tak myślimy, to jedynie opary naszych spekulacji myślowych. A przecież było zupełnie na odwrót ....

Taka to idea przyszła mi do głowy w wyniku moich studiów nad nieskończonością. Dokładniej: nad nieskończonością konforemną, która od paru lat zaprząta moje myśli.

A było tak: dawno, dawno temu powstała Geometria. Nie wiemy kiedy powstała. Znane nam jej początki sięgają wstecz do starożytnego Egiptu, Mezopotamii i wcześniej – geometria była tam przede wszystkim geometrią stosowaną.

Jednak dla nas, współczesnych, źródłem i początkiem geometrii logicznie precyzyjnej były „Elementy” Euklidesa.

Dziś wszakże wiemy również, że geometria Euklidesa jest tylko jedną z wielu możliwych geometrii.

Ogólniejszą od geometrii jest topologia. Oto przykładowy obrazek z obrazkowego podręcznika topologii (Georges K. Francis, "A topological Picturebook", Springer, 1988)

Przez długi czas geometria była geometrią przestrzeni. Rzecz zaczęła się zmieniać z chwilą gdy Maxwell zapisał swe równania elektromagnetyzmu w formie w której zmienne przestrzenne i parametr czasowy odgrywały, pod względem formalnym, podobną rolę. To własności równań Maxwella dały początek geometrii Minkowskiego wykorzystanej z powodzeniem przez Einsteina w teorii względności. Ale Einstein poszedł w jednym kierunku i zostawił na boku kierunek inny – coraz bardziej przyciągający uwagę fizyków dnia dzisiejszego. Mam na myśli geometrię konforemną. Ta również ma swe oparcie we własnościach równań Maxwella. Jej to przejawem są m.in. własności samo-podobieństwa tak typowe dla struktur fraktalnych.

Mnie samego do geometrii konforemnej ciągnęło od dawna. Później przypadek zrządził, że w roku 2003 wziąłem udział w konferencji w Cookesville (Tennessee) poświęconej algebrom Clifforda. Tam to (tragicznie zmarły wkrótce po tym) Pertti Lounesto zwrócił mi uwagę na to, że moje kwantowe fraktale opierają się właśnie na przekształceniach konforemnych. Tam to spotkałem osobiście Tony Smitha, który nieustannie zachwalał napisaną jeszcze w roku 1990, do spółki z Robertem Coquereaux, częściowo przeglądową a w części oryginalną, pracę o teoriach konforemnych. Wreszcie, to właśnie w Cookeville spotkałem francuskiego matematyka i filozofa z Tuluzy (Pierre Anglès), z którym dziś, tak się „złożyło”, rozmawiam i dyskutuję na niemal wszystkie tematy, niemal codziennie.

Powróćmy jednak do nieskończoności. Dodając do płaszczyzny jeden punkt i zwijając ją do tego punktu możemy utworzyć dwuwymiarową sferę – łatwa do zrealizowania w trzech euklidesowych wymiarach. Choć trudniej to sobie wyobrazić, jednak podobnie, dodając do trójwymiarowej przestrzeni Euklidesowej jeden punkt i zwijając ją, możemy utworzyć sferę trójwymiarową- łatwą do zrealizowania w czterech euklidesowych wymiarach. Ten dodany punkt to „nieskończoność”.

Gdy jednak włączymy wymiar czasowy, gdy geometrię przestrzeni Euklidesa zastąpimy geometrią czasoprzestrzenną Minkowskiego, wtedy sprawy się w istotny sposób komplikują. Pierwszy poważnie zajął się nieskończonością czasoprzestrzeni Roger Penrose w roku 1964. Swą pracę „Stożek świetlny w nieskończoności” opublikował w materiałach konferencji poświęconej relatywistycznym teoriom grawitacji, konferencji, która się odbyła w Warszawie w roku 1962. Napisał tam Penrose, że odpowiednikiem dodanego punktu jest, w teoriach relatywistycznych, nie punkt a stożek (świetlny). Nie wgłębił się przy tym Penrose w drobiazgową analizę struktury tej nieskończoności. Innym, potem, też się jakoś nie chciało i ten nieszczęsny stożek, czasem z dodaną czapą, ale zwykle bez niej, pokutuje w wielu fachowych monografiach i pracach oryginalnych. Gdy ktoś, w jakimś uczonym podręczniku, chce to nawet gdzieś udowodnić, zdarza się, że popełnia błąd w dowodzie – tak by wyszedł ten stożek Penrose'a.

Ja zaś twierdzę, i dowodzę, że nazywanie tej zamykającej czasoprzestrzeń dodanej struktury „stożkiem” jest błędem. Po zbadaniu okazuje się, że nieskończoność utworzona jest z okręgów światła, okręgów obracających się względem jednego wspólnego punktu i nigdzie nie przecinających się wzajemnie. Mówienie o stożku przyciąga uwagę do niewłaściwych okręgów, tych właściwych zaś nie widać. Nieskończoność czasoprzestrzeni ma charakter powierzchni nazywanej przez matematyków cyklidą.

Narysować nieskończoność trudno – trzeba by rysować w czterech wymiarach. Można jednak zrzutować z czterech wymiarów (projekcja stereograficzna) na trójwymiarową skrzynkę, a stąd na dwuwymiarowy ekran. Wynikiem jest coś takiego.

Narysowane tu okręgi to promienie – wszystkie wychodzące z jednego punktu – punktu Omega. Z konieczności narysował jedynie kilka warstw, ale trzeba sobie wyobrazić, że warstw tych jest nieskończenie wiele – przechodzą jedna w drugą w sposób ciągły. Jest to więc rodzina torusów stycznych do siebie w jednym punkcie. Nie jest to nic spektakularnego – jak np. Butelka Kleina czy Kręgi Villarceau. Nic tu się nie wije, nie zaplątuje, choć w pracy z roku 1963 (opublikowanej, co ciekawe, w Acta Physica Polonica - coś ta niekończoność lubi Polskę) matematyk z Lipska, Armin Uhlmann, sugerował, że ta nieskończoność ma w sobie coś z butelki Kleina. Moim zdaniem zrobił błąd. A jeśli to ja robię błąd – to wcześniej czy później się o tym dowiemy.

I tak sobie myślę: żyjemy w świecie skończonym i nieskończoność wydaje nam się jedynie konstrukcją teoretyczną. A co, jeśli jest na odwrót? Co, jeśli bez tej nieskończoności nigdy nie zrozumiemy konstrukcji świata? Co, jeśli „na początku była nieskończoność, która była światłem”? Nieskończoność jest trójwymiarowa. Ma dwa wymiary przestrzenne i jeden wymiar świetlny. Formalnie: (2,0) - dwa plusy, jedno zero. Zero czuło się samotne i się rozpadło na jeden wymiar (+1) i jeden antywymiar (-1). I tak powstała "nasza" casoprzestrzeń o sygnaturze (3,1) - trzy plusy, jeden minus.