Sprawozdanko

Koncentracja na przygotowaniu do publikacji tego, co leżało w szufladach, niedokończone, spowodowało zastój w moim blogowaniu. Miałem termin przygotowania dwóch artykułów na lipcową konferencję w Weimarze – do 15-go maja. Termin został przez organizatorów przesunięty: do 20-go. Wczoraj dwie prace skończyłem – zmieściłem się zatem w czasie. Kto ciekawy – może wyniki mojej pracy zobaczyć, sprawdzić, że nie zmyślam.

Compactified Minkowski Space: Myths and Facts

Arkadiusz Jadczyk

(Submitted on 19 May 2011)

Maxwell's equations are invariant not only under the Lorentz group but also under the conformal group. Irving E. Segal has shown that while the Galilei group is a deformation of the Poincar\'e group, and the Poincar\'e group is a deformation of the conformal group, the conformal group ends the road, it is rigid. There are thus compelling mathematical and physical reasons for promoting the conformal group to the role of the fundamental symmetry of space--time, more important than the Poincar\'e group that formed the group-theoretical basis of special and general theories of relativity. While the action of the conformal group on Minkowski space is singular, it naturally extends to a nonsingular action on the compactified Minkowski space, often referred to in the literature as "Minkowski space plus light-cone at infinity". Unfortunately in some textbooks the true structure of the compactified Minkowski space is sometimes misrepresented, including false proofs and statements that are simply wrong. In this paper we present in, a simple way, two different constructions of the compactified Minkowski space, both stemming from the original idea of Roger Penrose, but putting stress on the mathematically subtle points and relating the constructions to the Clifford algebra tools. In particular the little-known antilinear Hodge star operator is introduced in order to connect real and complex structures of the algebra. A possible relation to Waldyr Rodrigues' idea of gravity as a plastic deformation of Minkowski's vacuum is also indicated.

Comments: 10 pages, 1 figure

Subjects: Mathematical Physics (math-ph)

Cite as: arXiv:1105.3948v1 [math-ph]

Gravitation on a Homogeneous Domain

Arkadiusz Jadczyk

(Submitted on 19 May 2011)

Among all plastic deformations of the gravitational Lorentz vacuum \cite{wr1} a particular role is being played by conformal deformations. These are conveniently described by using the homogeneous space for the conformal group SU(2,2)/S(U(2)x U(2)) and its Shilov boundary - the compactified Minkowski space \tilde{M} [1]. In this paper we review the geometrical structure involved in such a description. In particular we demonstrate that coherent states on the homogeneous Kaehler domain give rise to Einstein-like plastic conformal deformations when extended to \tilde{M} [2].

Comments: 10 pages, 1 figure

Subjects: Mathematical Physics (math-ph)

Cite as: arXiv:1105.3814v1 [math-ph]

Każda z tych dwóch prac ma dokładnie 10 stron – co do linijki. Taki był limit i musiałem się zastosować, kondensując i tnąc bezlitośnie. O tym co jest w tych dwóch pracach pisałem swego czasu tutaj, na blogu. Zaczynało się, jak to zwykle bywa, od intuicji. Czułem, że coś jest prawdą, ale od czucia do wykazania, że tak jest w istocie – droga ciężka. Pewne przeczucia się sprawdzają całkowicie, inne tylko połowicznie, jeszcze inne jedynie w zarysie. Wreszcie są i takie, które się nie sprawdzają, choć otwierają wrota ku czemuś nowemu, dotąd nawet nie przeczuwanemu. Ciekawa jest sprawa z tą pierwszą pracą. Pisałem tu sporo o nieskończoności. Pokazywałem komputerowo sporządzone obrazki tej nieskończoności:

W ciągu ostatnich paru tygodni odkryłem jednak, że takie powierzchnie są od dawna znane i badane w geometrii – są tozdegenerowane cyklidy Dupina. Jakież było moje zdumienie gdy w sieci znalazłem coś takiego CYCLIDE DE DUPIN, Dupin's Cyclide, dupinsche Zyklide:

Warto na tę stronę zjarzeć – jest tam więcej obrazków.

Nie ulega dla mnie, wzrokowo, wątpliwości, że moja nieskończoność jest właśnie taką cyklidą. I tak napisałem w pierwszej z tych prac. Ale dodałem też, że nie potrafię jeszcze dziś znaleźć formalnego na to dowodu. Pracuję więc dalej – jak znajdę – będzie następna publikacja.

Odkryłem też i jeszcze coś: że mianowicie cała Einsteina „teoria względności” z jej filozoficznym balastem, jest całkowicie zbędna gdy idzie o stronę formalnie matematyczną. Gdy tzw. Czasoprzestrzeń zastąpi się badaną jeszcze w XIX wieku geometrią sfer, prawie cały aparat matematyczny szczególnej teorii względności już się tam zawiera. Włącznie z coraz modniejszymi rozszerzeniami w stronę geometrii konforemnej. W geometrii sfer (a są dwie takie geometrie: geometria sfer niezorientowanych Mobiusa i geometria sfer zorientowanych Sophusa Lie) miast punktów rozważa się powierzchnie sferyczne - takie bańki mydlane. Punkt to przecież szczególny przypadek sfery – o promieniu zerowym. W geometrii Lie rozważa się sfery zorientowane – jakby miały zewnętrzną stronę pomalowaną na jeden kolor a wewnętrzną na drugi kolor. Formalnie dopuszcza się więc sfery o ujemnym promieniu. Sferę o ujemnym promieniu interpretuje się przy tym jako sferę o dodatnim promieniu, ale z zamienionymi kolorami – jakby się wywróciło wnętrze na zewnątrz. Można więc sobie wyobrazić, że sfera niebieska na zewnątrz a czerwona od wewnątrz, kurczy się do punktu i się przewleka na drugą stronę: staje się czerwona zewnątrz a niebieska wewnątrz. A w teorii względności miast mówić o odwracaniu orientacji sfer mówi się o przeszłości i przyszłości. W geometrii sfer czas modeluje się poprzez proces wywracania sfer.Świat jest pełen sfer – miarą upływu czasu jest promień sfery. Udanie się w przeszłość – to udanie się do wnętrza sfery. Muszę nad tym jeszcze popracować, ale nie ukrywam, że taka ideologia lepiej mi pasuje niż bezpłciowa czasoprzestrzeń Minkowskiego czy Einsteina. Matematyka obydwu filozofii jest, o dziwo, ta sama. Znane ze szczególnej teorii względności przekształcenia Lorentza, to szczególne transformacje XIX-to wiecznej geometrii sfer Lie! Ciekawe, że nikt, jak mi się wydaje, tego dotąd nie nagłośnił! Czyżbym miał być pierwszym?

Tak czy siak nadal jest pochłonięty tymi moimi nowymi „odkryciami”. Maj jest dla mnie dobrym czasem do pracy.