Relacja równoliczności

Dowiaduję się, że:

"W roku szkolnym 2022/2023 obowiązywać ich będzie nowy przedmiot: historia i teraźniejszość. Dogłębne reformy zajdą także w nauczaniu edukacji dla bezpieczeństwa. Zajęcia te zostaną wzbogacone o elementy przysposobienia obronnego (m.in. nauka strzelania, cyberbezpieczeństwo, terenoznawstwo)."

Do historii dodano "teraźniejszość". Ciekaw jestem jak będą wyglądały podręczniki teraźniejszości. Podręczników przyszłości nie będzie, bowiem przyszłość jest mocno wątpliwa - świat toczy się coraz szybciej ku samozagładzie. Z teraźniejszością mamy wielki problem. Jak to trafnie ujął mój mądry znajomy:

"Rozwiązanie problemów leży poza sferą, w której problemy zostały stworzone. Poza sferą 3D. "

Co to jest to 3D? Tego bez matematyki wyjaśnić się nie da. A matematykę trzeba poznać od podstaw. Od teorii mnogości. Jednak i ta oferuje pułapki. Teoria mnogości to nauka o zbiorach. Myślący liceailista, gdy dowie się co to takiego te "zbiory", zapyta: czy istnieje podzbiór zbioru wszystkich zbiorów złożony z tych zbiorów, które nie są elementami samych siebie? (Paradoks Russella). A koleżanka z ławki pomyśli przez chwilę i uprości to pytanie do pytania "a czy w ogóle istnieje zbiór wszystkich zbiorów?"

By być w stanie na podobne pytania odpowiedzieć musimy dowiedzieć się czegoś o relacjach i o równoliczności zbiorów. I dziś się tym zajmiemy na przykładzie skrzydeł anioła.

Z "Teorii mnogości", Kuratowski-Mostowski:

Definicja: Dwa zbiory A i B są równoliczne, jeśli istnieje funkcja wzjemnie jednoznaczna f, dla której A jest zbiorem argumentów a B zbiorem wartości. Piszemy wówczas A∼B. O funkcji f mówimy, że ustala ona równoliczność zbiorów A i B.

Tyle deficja. Z definicji łatwo sie przekonamy, że zbiory A={a,b} i B={1,2} są równoliczne. Funkcję f łatwo skonstruujemy. Nawet dwie różne. (Zrób to!)

Trudniej udowodnić, że zbiory A={a,b,c} i B={1,2} nie są równoliczne. Ktoś powie: "nie są, bo jeden ma trzy elementy a drugi tylko dwa". Jednak to nie będzie dowód z definicji. Byłby to dowód z pewnego wniosku z definicji, ale ten wniosek przyjdzie dopiero potem.

W praktyce zbiory często okazują się rozmyte. Przyjrzyjmy się dziewczynie ze skrzydłami anioła.

Traktując skrzydła jako zbiór piór, możemy sprawdzić ich równoliczność rysując takie f:

Jednak gdy dochodzimy do fałdek wewnętrznych pojawia się problem: czy liczyć je za pióra? czy nie? Z takich rozważań powstała rozmyta logika i rozmyta teoria mnogości. Do stwierdzenia, że coś jest piórem dodajemy wtedy wagę, liczbę między 0 a 1. Ale to inna inszość.

Dla nas ważne jest to, że relacja równoliczności jest relacją równoważności: zwrotna, symetryczna i przechodnia:

A∼A

(A∼B) →(B∼A)

(A∼B)∧(B∼C)→(A∼C)

W ten sposów w nieistniejącym zbiorze wszystkich zbiorów wprowadzamy klasy równoważności. W danej klasie wszystki zbiory są równoliczne.W różnych klasach - nie są równoliczne.

I tak wracamy do zadania: udowodnić, z definicji, że zbiory A={a,b,c} i B={1,2} nie należą do tej samej klasy.

Gdy to porządnie udowodnimy, wtedy będziemy mogli zabierać się za nieco trudniejsze problemy jak na przykład "jak skonstruować wehikuł czasu?"

P.S. Co ciekawe, moja notka dziś 05-09-22 godz 16:04 trafiła na stronę główną salonu24 z izastanawiającą ilustracją dodaną przez adminów: