Fizyka kwantowa - częśc II

Część I zawierała ideologiczne wprowadzenie. Koncentrujemy się na fizyce relatywistycznej: mechanice kwantowej cząstki swobodnej w pustej czasoprzestrzeni. Nie taka ona znowu "pusta". Jest bowiem wyposażona w "geometrię". Tak jak nasza zwykła przestrzeń Euklidesowa jest wyposażona w geometrię euklidesową. W geometrii euklidesowej zakładamy, że wiemy co to są linie proste, co to są trójkąty prostokątne, równoboczne i inne. Suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni a obwód okręgu o promieniu r wynosi 2 pi r. Prócz tego w teorii nierelatywistycznej zakładamy, że wiemy co to jest "czas". A jak nie wiemy, sięgamy do Kanta, Galileusz i Newtona, i to nam do fizyki wystarcza. Dalej, jeśli chcemy, sięgamy do Schrodingera i dodajemy Heisenberga. Piękny klasyczny obraz nam się nieco mąci, ostrzegają nas przed niebezpieczeństwami jednoczesnego pomiaru pędu i położenia, mówią nam o dualizmie korpuskularno-falowym.... Ale do tego można się przyzwyczaić.
Do fizyki relatywistycznej przyzwyczaić się trudniej. Nie ma absolutnego czasu, zegarki raz idą szybciej a raz wolniej, bliźniacy spotykają się w nierównym wieku, denerwuje nas to czasem, tęsknimy za eterem, ale cóż, takie jest życie. Trzeba się na to zaszczepić i jakoś da się wyżyć. Gorzej jednak gdy dochodzi teoria kwantowa, ta relatywistyczna. Nie ma na to dotąd szczepionki. Więc ostrzegam: kto nie ma wrodzonej lub nabytej przez studia odporności, może lepiej niech dalej nie czyta.
Mechanika kwantowa jest nieintuicyjna. Czym więc przy jej budowaniu i interpretowaniu się kierować? Doświadczeniem? Doświadczenie zawsze interpretujemy przez teorię. Ale jak budować teorię? Jedna jest rzecz wspólna dla fizyki klasycznej i kwantowej. To symetrie. Matematycy usiłując zrozumieć na czym polega "geometria" doszli do wniosku, że polega na "grupie symetrii". Geometria to studiowanie niezmienników danej grupy przekształceń. Kąty w trójkącie nie zmieniają się przy obrotach i przy przesunięciach. Dlatego warto się nimi zajmować. Długość pręta nie zmienia się przy jego przesunięciach i obrotach. Dlatego jest warto ją prętowi przypisywać. Itd. Obroty 3-wymiarowe i przesunięcia tworzą grupę euklidesową. W fizyce relatywistycznej mamy geometrię Minkowskiego. Zamiast przesunięć w przestrzeni mamy przesunięcia w czasoprzestrzeni, zamiast zwykłych obrotów mamy pseudo-obroty Lorentza. Tam są zwykłe obroty i porywy. Przesunięcia w czasoprzestrzeni i obroty Lorentza tworzą grupę Poincarego. Zastępuje grupę euklidesową fizyki nierelatywistycznej. Cząstka swobodna pozostaje cząstką swobodną z którego układu inercjalnego byśmy na nią nie patrzyli. W fizyce kwantowej symetrie reprezentowane są nie przez transformacje położeń i pędów, a przez operatory działające w przestrzeni Hilberta stanów układu kwantowego. Wśród tych stanów są zwykle takie o określonym pędzie, oraz inne, o określonym położeniu. Nie ma stanów o określonym jednocześnie zarówno pędzie i położeniu (Heisenberg się kłania), No i są liniowe "superpozycje" różnych stanów. By superpozycje pozostawały superpozycjami, od operatorów reprezentujących symetrie wymaga się by były liniowe (ew. anty liniowe, ale to w szczególnych przypadkach nas tu nie interesujących).  By prawdopodobieństwa zajścia tego czy tamtego się przy symetriach nie zmieniały, operatory te winny zachowywać iloczyn skalarny pomiędzy wektorami. Winny być unitarne.  Stąd pojawiło się pojęcie "elementarnego relatywistycznego obiektu kantowego". Elementarny relatywistyczny obiekt kwantowy to taki obiekt kwantowy, którego stany reprezentowane są przez wektory w pewnej przestrzeni Hilberta H. W tej przestrzeni winniśmy mieć unitarne operatory U(a,L) reprezentujące transformacje z grupy Poincarego (przesunięcia a i obroty L). A obiekt jest elementarny, jeśli w tej naszej przestrzeni H nie da się wyodrębnić jakiejś mniejszej nietrywialnej podprzestrzeni którą nasze operatory U(a,L) przeprowadzały by w siebie.
Technicznie mówi się: mamy nieredukowalną (inaczej nieprzywiedlną) reprezentację unitarną grupy Poincarego. By uwzględnić tez spiny połówkowe, osłabiamy żądanie by była to "reprezentacja", zezwalamy by była to reprezentacja z dokładnością do czynnika fazowego, inaczej "reprezentacja rzutowa" (co nie wpływa na prawdopodobieństwa). Lub, co na jedno wychodzi, zastępujemy grupę Lorentza grupą SL(2,C) macierzy zespolonych 2x2 o wyznaczniku 1.
Problem klasyfikacji elementarnych relatywistycznych układów kwantowych sprowadziliśmy więc do problemu klasyfikacji rzutowych nieprzywiedlnych reprezentacji grupy Poincarego.
Problem ten rozwiązał w r. 1937-1939 Eugene Wigner (potem dostał Nobla).
I o tym w kolejnej notce.