Neutrino dla licealistów

Co jest prostsze 1 czy 1/2? Chyba 1/2. Foton to spin 1, neutrino to spin 1/2. Stany cząstki o spinie 1 opisujemy przez wektory w trójwymiarowej przestrzeni lub w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Trójki lub czwórki liczb. Stany cząstki o spinie 1/2 opisujemy przez wektory w dwuwymiarowej przestrzeni - wektory kolumienki liczb zespolonych. Dwa jest prostsze niż trzy czy cztery.

W poprzedniej notce zajmowaliśmy się fotonem, wektorami opisującymi stany fotonu o określonej polaryzacji kołowej - wektory własne operatora skrętności. W szczególności rozważaliśmy macierz W1 z pracy Białynickich:

Kolumny tej macierzy są unormowanymi wektorami własnymi operatora skrętności ( przy tym druga kolumna w tej pracy jest źle unormowana, winna być pomnożona prze pierwiastek z 2). Lepiej jednak powiedzieć: są jedną z możliwych postaci tych wektorów własnych. I w tym jest pies pogrzebany. Stąd, z nieprzestudiowania tego faktu, że to tylko "jedna z postaci", wzięła się dyskusja pod poprzednią notką, dyskusja o tym czy jest tam jakaś osobliwość wynikająca z zera w mianowniku, czy takiej nie ma.

Można liczyć te wektory takim czy innym programem komputerowym i różne programy proponują inną postać rozwiązań. Lepiej jednak zrozumieć istotę problemu zająwszy się neutrinem, to reprezentowane jest przez macierz W1/2. I tym się teraz zajmiemy w szczegółach. Nie musimy uciekać się do programów, wszystko możemy wyliczyć sami na kartce papieru. I przy tym rozumieć co się dzieje w każdym kroku.

Zacznijmy od operatora skrętności dla neutrina. Ma tę samą postać co ten dla fotonu, tyle, że zmiast 3x3 macierzy Sigma mamy teraz 2x2 macierze sigma - standardowe macierze Pauliego. Wystarczy, że go rozważymy na sferze jednostkowej w przestrzeni pędów. Przyjmujemy zatem, że p1,p2,p3 są składowymi wektora na sferze jednostkowej, zatem p1^2+p2^2+p3^2=1. Operator skrętności Lambda dany jest wtedy przez macierz p1 sigma1+p2*sigma2+p3*sigma3, to jest

Lambda = ((p3, p1-ip2), (p1+ip2, -p3)),

gdzie (p3, p1-ip2),  (p1+ip2, -p3) oznaczają wiersze macierzy.

Jest to macierz hermitowska, jej kwadrat, jak łatwo sprawdzić, jest macierzą jednostkową, zatem wartości własne muszą być +1 lub -1. Ślad tej macierzy to suma wartości własnych i jest zerem. Stąd jedna wartość własna to +1, druga -1.

Chcemy teraz znaleźć wektory własne. Zajmijmy się tym należącym do wartości własnej +1. Dla -1 będzie podobnie. Zauważmy przy tym, że mamy znaleźć wektor własny dla każdego pędu, czyli, przy naszym założeniu,  dla każdego punktu na sferze jednostkowej. Czy da się to zrobić w sposób ciągły? Tak by wektor własny był ciagłą funkcją punktu na sferze? Taki jest nasz problem i chcemy znaleźć odpowiedź na to pytanie.

Wektory własne to kolumienki dwóch liczb zespolonych u=(u1,u2).

(p1-ip2)u2=(1-p3)u1

(p1+ip2)u1=(1+p3)u2

Jeśli p3 jest różne od 1, możemy skorzystać z pierwszego równania i wyrazić u2 przez u1. Ta metoda działa wszędzie z wyjątkiem bieguna północnego sfery.

Jeśli p3 jest różne od -1, wtedy możemy skorzystać z drugiego równania, wszędzie poza biegunem południowym.

Czytelnik może sparwdzić, że poza tymi dwoma punktami pierwsze i drugie równanie są ze sobą zgodne. To nie są wtedy dwa różne równania, tylko jedno i to samo równanie zapisane na dwa różne sposoby.

Gdy chcemy rozwiązanie z pierwszego równania rozszerzyć na całą sferę, dostajemy nieciągłość na biegunie północnym. Gdy chcemy rozwiązanie z drugiego równania rozszerzyć na całą sferę, dostajemy nieciągłość na biegunie południowym.

Matematyk powie: mamy  zespoloną liniową wiązkę nad sferą i ta wiązka ma nietrywialną topologię. Tak ja sfera ma innaą (globalną) topologię niż płaszcyzna.

I o tym w kolejnej notce.