Porywy na hiperboloidzie

Dzisiejsza notka jest przedłużeniem tej  z 2-go listopada: "Hiperboloida masy i E=mc²". Jako ilustracja będzie nam służył ten sam rysunek:

Na obrazku widzimy hiperboloidę masy, gdzie na osi pionowej odłożona jest energia. Ja będę wolał malować ten obrazek w przestrzeni czteropędu i na osi pionowej odkładać p⁰= E/c = ± √( p² + m₀²c²). Ponieważ nam będzie wygodnie wybrać układ jednostek w którym prędkość światła c=1, więc nie będzie różnicy. Przypomnijmy podstawową formułę ze wspomnianej wyżej notki

p0²- p1²- p2²- p3² = m₀² c²

skąd, dla górnej powłoki hiperboloidy mamy

p⁰=   +√( p² + m₀²c²)

Dla p=0 dostajemy p⁰= m₀c - punkt na samym dnie hiperboloidy. Gdy m₀ =0, dla cząstek o masie spoczynkowej zero, jak fotony i bezmasowe neutrina, hiperboloida degeneruje się w stożek ("świetlny").

Hiperboloida masy jest powierzchnią trójwymiarową w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Aby ją narysować w przestrzeni trójwymiarowej (a potem jeszcze zrzutować na dwuwymiarowy ekran) opuszczamy jeden z wymiarów, na przykład p_z=p³.

Przyjrzymy się teraz bliżej geometrii hiperboloidy masy (a w granicy - stożka świetlnego). Geometria ta się przydaje na przykład przy dyskusji tzw. fazy Berry'ego dla fotonów (patrz np. Papini, "On the classical origin of Berry's phase for photons" i tam cytowane prace autorów Zofia i Iwo Białyniecki-Birula).

Co to jest geometria? Według Felixa Kleina gometria to badanie niezmienników grupy transformacji. I tak dziś to przyjmujemy. I tak też będziemy badać geometrię hiperboloidy masy i stożka świetlnego. Zaczniemy od grupy transformacji. A co to za transformacje? Oczywiście nic innego niż transformacje Lorentza. Obroty, porywy, i ich złożenia. Opiszemy zatem najpierw jak te transformacje działają na punkty hiperboloidy masy.

Może przypomnę najpierw, że tak hiperboloida jak i stożek są 3-wymiarowymi rozmaitościami - tak to się w geometrii mówi gdy mamy do czynienia z czymś czego punkty wymagają trzech niezależnych współrzędnych do ich opisania. Przy tym ze stożka wyrzucamy sam czubek p=0. A powód jest taki, że na samym czubku nie wiadomo co to jest krzywa styczna do czubka. Dla czubka nie mielibyśmy dobrego pojęcia wektorów stycznych w danym punkcie, a geometria różniczkowa tego wymaga. Zresztą fizyka od tego wyrzucenia czubka nie cierpi, bowiem co to byłby za foton o energii zero?

Powróćmy teraz do transformacji Lorentza: obrotów, porywów (inaczej: szczególnych transformacji Lorentza), i ich złożeń. Zacznijmy od obrotów. Te nie ruszają osi czasu, obraca się jedynie wektor p, zwykłą macierzą obrotu. Na przykład wokół osi z:

px' = cos(t) px + sin(t) py

py' = -sin(t) px +cos(t) py

pz' = pz

t jest kątem obrotu, może być dodatnie lub ujemne.

Na rysunku powyżej taki obrót w działaniu na dowolny punkt rysuje okrąg na hiperboloidzie (czy na stożku), przecięcie hiperboloidy z płaszczyzną poziomą. W trójwymiarowej przestrzeni możemy obracać wokół dowolnej osi o dowolny kąt. Zauważmy przy tym, że mając dwa wektory p, p' o tej samej długości, t.j. takie, że p²= p'² zawsze istnieje obrót przeprowadzający p w p'.

Porywy działają pionowo. Typowy poryw (wzdłuż osi x) to

p⁰' = cosh(w) p⁰ + sinh(w) p¹

p¹' = sinh(w) p⁰ + cosh(w) p¹

p²'=p², p³'=p³.

Przy obrotach kąt t zmienia się od 0 do 2 pi, przy porywach parametr porywczości w zmienia się od minus do plus nieskończoności.

Orbity przy obrotach to poziome okręgi, przecięcia hiperboli z płaszczyznami poziomymi.

Orbity przy porywach to pionowe hiperbole - przecięcia płaszczyzn pionowych z hiperboloidą.

Zauważmy, że grupa Lorentza działa na hiperboloidę tranzytywnie. To znaczy, dla dowolnych dwóch punktów p i p' istnieje transformacja Lorentza, złożenie obrotów i porywów, która przeprowadza p w p'. W samej rzeczy najpierw możemy oba punkty obrócić tak, że każdy z nich ma py=pz=0, a następnie zastosować szczególny poryw opisany wyżej. W sumie mamy złożenie trzech transformacji: dwóch obrotów i jednego porywu. Lub jeszcze inaczej. Obrócić punkt p' tak by leżał nad p, a następnie zastosować poryw w kierunku wektora p. Tu mamy złożenie jedynie dwóch transformacji.

Ten fakt tranzytywnego działania grupy jest punktem wyjścia do badania geometrii w rozumieniu Felixa Kleina. I teraz wiemy, że w istocie to mamy.