Czym się wyróżnia fizyka?

Najpierw wyróżniona była Ziemia. Kolebka cywilizacji. Choć dyskusja nad tym czy życie na Ziemię nie zostało przyniesione z Kosmosu nie jest zakończona. Ziemia spoczywała na żółwiach ( a może na słoniach?) i była pępkiem Wszechświata, który się wokół niej obracał. Potem przyszedł Kopernik, który zatrzymał Słońce i poruszył Ziemię. Potem przyszedł Einstein ze swą szczególną teorią względności. Wyróżniona została cała klasa skądinąd równouprawnionych układów ineracjalnych. Ziemia jest przybliżeniem takiego układu, Słońce lepszym przybliżeniem, układ związany z "gwiazdami stalymi" jeszcze lepszym. Dziś mówimy, że układ w którym promieniowanie tła jest izotropowe (o ile taki układ istnieje) - jeszcze lepszym. Einstein nie był jednak z tego zadowolony i sformułował ogólną teorię względności. Równania pola grawitacyjnego (także innych pól) są sformułowane tak ogólnie, że wszystkie układy są równouprawnione. To jednak doprowadziło do problemów (do dziś dyskutowanych) z "prawami zachowania" i "Zasadą Macha". Rosyjski uczony Fok argumentował, że jednak w ogólnej teorii względności mamy wyróżnione układy współrzędnych, tzw. "współrzędne harmoniczne".  Ogólnie w fizyce notujemy trend: wyróżniać jak najmniej, a jak się da to nie wyróżniać wcale.

W dyskusji pod ostatnią notką pojawił się problem  w związku z mechaniką kwantową: czemu używamy macierzy Pauliego? Przecież ewidentnie wyróżniają trzecią współrzędną przestrzenną, oś z? W szczególnej teorii względności wyróżniamy zwykle oś x, odkładamy ją poziomo, podczas gdy w mechanice kwantowej wyróżniamy oś z, co prawdopodobnie wywodzi się stąd, że w doświadczeniu Sterna-Gerlacha spiny skierowane były w górę lub w dół, a nie w lewo lub w prawo.

Dziś chcę na prostym przykładzie pokazać, że nie musimy w ogóle używać macierzy Pauliego, jeśli tylko jesteśmy wystarczająco biegli w algebrze liniowej. Macierzami posługujemy się po prostu dlatego, że tak bywa wygodnie.

Mamy grupę SL(2,C) zespolonych macierzy 2x2 o wyznaczniku 1, potrzebną przy opisie spinu, i mamy grupę Lorentza potrzebną w szczególnej teorii względności. Potrzebny jest związek pomiędzy tymi grupami. Jak to zrobić bez posługiwania się macierzami Pauliego? Oto jak.

Rozważamy przestrzeń liniową rzeczywistą 4-wymiarową macierzy hermitowskich 2x2. Definiujemy w tej przestrzeni iloczyn skalarny (X,Y) przez  równość polaryzacyjną

(X,Y) = ½( Q(X+Y) - Q(X) - Q(Y) ),

gdzie

Q(X) = det(X).

Explicite:

(X,Y) = 1/2 (x₂₂ y₁₁ - x₂₁ y₁₂ - x₁₂ y₂₁ + x₁₁ y₂₂)

Ten iloczyn skalarny ma sygnaturę (+1,-1,-1,-1) - ilość plusów i minusów w bazie ortonormalnej, niezależna od wyboru bazy. Wybieramy tam bazę ortonormalną e0,e1,e2,e3. Przy tym możemy zażądać by e0 było macierzą jednostkową I, a macierze e1,e2,e3 miały kwadraty równe I, i spełniały relacje

e1 e2 = ie3 itd

Tak jak macierze Pauliego, ale nie wyróżniamy żadnego kierunku.

Definiujemy przyporządkowanie każdej macierzy A z SL(2,C) macierzy rzeczywistej L(A)  4x4 formułą

Ae_αA* = e_β L(A)^β_α                      (**)

Można pokazać, ze L(A) jest faktycznie macierzą Lorentza.  Przy tym

L(AB)=L(A)L(B).                  (****)

Dodatkowo, podobnie jak dla macierzy Pauliego pokazujemy formułę

L(A)^α_β = ½ tr(e_αAe_βA*)         (*)

oraz pokazujemy, że jeśli A jest macierzą unitarną, to L(A) jest macierzą obrotu przestrzennego, macierzą ortogonalną, czyli taką, że odwrotna jest równa transponowanej: gdy U jest unitarna to

L(U)^-1 =L(U)^t .    (*****)

Pokażemy teraz ciekawą tożsamość, mianowicie, że

L(A*) = L(A)^t                       (***)

gdzie t u góry oznacza transponowanie.

Najpierw pokażemy to dla macierzy unitarnych, załóżmy, że A=U, gdzie UU*=I. Mnożąc równanie (**), gdzie A=U,  z lewej przez U* i z prawej przez U dostajemy

e_α = U*e_βU L(A)^β_α      

Mnożąc stronami ( zprawej) przez (L(A)^-1)^α_γ i sumując po α dostajemy

e_α  (L(A)^-1)^α_γ = U*e_βU L(A)^β_α  (L(A)^-1)^α_γ = U*e_βU δ^β_γ =  U*e_γU

Skąd, używając (**) i (*****)

L(U*) = L(U)^-1 = L(U)^t

Zatem nasza formuła jest spełniona dla macierzy unitarnych. Teraz załóżmy, że macierz A jest dodatnia, tzn. postaci, A=B*B, o dodatnich wartościach własnych, w szczególności A=A*.

Wtedy, z własności śladu

L(A)^α_β = ½ tr(e_αAe_βA)  = ½ tr(e_βAe_αA) = L(A)^β_α

Czyli L(A)^t = L(A)=L(A*)

Zatem nasza formuła spełniona jest także dla macierzy dodatnich. Z rozkładu biegunowego oraz z (****) wynika, że nasza własność (***) jest spełniona dla dowolnej macierzy A.

Z macierzy Pauliego przy tym w ogóle nie korzystaliśmy. Czy coś wyróżniliśmy? Owszem, wyróżniliśmy bazę w przestrzeni macierzy Hermitowskich. Moglibyśmy i tego uniknąć gdybyśmy w ogóle obyli się bez współrzędnych zarówno w dwu-wymiarowej przestrzeni zespolonej jak i w przestrzeni Minkowskiego. Musielibyśmy wtedy jednak wyróżnić izomorfizm przestrzeni H i przestrzeni Minkowskiego. Na to jak na razie rady nie ma. I to jest tajemnica spinorów dotąd będąca tajemnicą.

P.S.

Ten dodatek jest odpowiedzią na komentarz Bjaba.

Rozważamy przestrzeń liniową rzeczywistą 4-wymiarową macierzy anty-hermitowskich 2x2.

Wybieramy tam bazę  e0,e1,e2,e3 tak by ie0 było macierzą jednostkową I, a macierze e1,e2,e3 miały kwadraty równe -I, i spełniały relacje

e1 e2 = e3 itd

Definiujemy przyporządkowanie każdej macierzy A z SL(2,C) macierzy rzeczywistej L(A)  4x4 formułą

Ae_αA* = e_β L(A)^β_α                      (**)

Można pokazać, że L(A) jest faktycznie macierzą Lorentza.  Przy tym

L(AB)=L(A)L(B).                  (****)

Podobnie jak wyżej otrzymujemy (pojawia się jednak dodatkowy znak minus po prawej)


L(A)_αβ = -½ tr(e_αAe_βA*)         (*)

Wszystko dalej odbywa się jak w powyższej notce, tylko za poprzednie eα podstawiamy -ieα, co prowadzi do zmiany znaku tam, gdzie są iloczyny.

Można by próbować rzecz komplikować wprowadzając zamiast obecnego antyhermitowskiego  e0 macierz jednostkową. Trzeba by było wtedy używać sprzężenia kwaternionowego przeprowadzającego e_i w -e_i . Nic byśmy przez to nie wygrali.