Fotonowa wojna w czasoprzestrzeni Minkowskiego

Od jakiegoś czasu zmagam się z fotonami. Chwilowo przegrywam. Potrzebuję wsparcia. Wszelkiego możliwego. Stąd ta notka. Ale najpierw krótkie wprowadzenie.

Światło w próżni, jak wiadomo, rozchodzi się .... z prędkością światła w próżni. Od przyjęcia założenia (popartego obserwacją), że prędkość światła w próżni jest czymś absolutnym, niezależnym od stanu ruchu obserwatora, od tego zaczęła się na dobre szczególna teoria względności. Najpierw był Einstein (może także Poincare), potem przyszedł Minkowski ze swą koncepcją "przestrzeni zdarzeń" -  cztero-wymiarowej czasoprzestrzeni ze współrzędnymi x0=ct, x1=x, x2=y, x3=z. Swiatło w tej przestrzeni propaguje sie po "stożkach świetlnych". Stożek świetlny opisujący światło startujące z punktu x=y=z=0 w chwili t=0 opisywany jest równaniem

x0^2-x1^2-x2^2-x3^2 = 0

To równanie powierzchni stożka. Stożka świetlnego w przestrzeni Minkowskiego.

Z jakieogoś dziwnego powodu, dotąd niezrozumiałego, geometria przestrzeni Minkowskiego pięknie koduje się w macierzach zespolonych 2x2. Jest to ciekawe, bowiem macierze 2x2 to najprostsza algebra macierzy. Już prostszej (nietrywialnej) być nie może. I z jakiegos powodu taki właśnie prosty świat nam się objawia. Lecz w tej prostocie jest głębia. A jak nasz stożek świetlny opisywany jest w języku macierzy? Przez wyznacznik. Zaś sam czas opisywany jest przez ślad.

Teraz detale (więcej można znaleźć np. w książkach Rogera Penrose'a).

Wsród macierzy zespolonych 2x2 bodaj najprostsze są macierze hermitowskie. Sprzężenie hermitowskie macierzy to wzięcie macierzy transponowanej zespolenie sprzężonej. Jeśli A jest macierzą, to macierz hermitowsko sprzężoną oznaczamy przez A*. Macierz hermitowska to taka, która ma własność A=A*.

Bazę w przestrzeni macierzy hermitowskich tworzą cztery macierze Pauliego σ_μ (μ=0,1,2,3)

σ₀ = ((1,0),(0,1)), σ₁=((0,1),(1,0)), σ₂=((0,-i),(i,0)), σ₃=((1,0),(0,-1))

Trzy macierze σ_i (i=1,2,3)  mają ślad równy zero. Ponadto mają własność

 σ₁σ₂  =i σ₃ = -  σ₂σ₁ , 
σ₂σ₃  = i σ₁,= - σ₃σ₂ ,
σ₃σ₁  = i σ₂  = - σ₁σ₃ 

Mamy też łatwą do sprawdzenia własność

½ tr(σ_μ σ_ν) = δ_μν                                           (1)

gdzie δ_μν  jest deltą Kroneckera.

Mając punkt czasoprzestrzeni o współrzędnych x0,x1,x2,x3 wiążemy z nim macierz hermitowską X

X = x^μ σ_μ = x0 σ₀ + x1 σ₁ + x2 σ₂ + x3 σ₃

Explicite

X=((x0+x3,x1-ix2),(x1+ix2,x0-x3))

Teraz

det(X) = x0^2-x1^2-x2^2-x3^2,

½ tr(X)= x0

Zatem stożek świetlny opisywany jest przez macierze hermitowskie o wyznaczniku zero - osobliwe. "Teraźniejszość", zdarzenia w chwili t=0, opisywane są przez macierze hermitowskie o śladzie zero. Czyż to nie piękne?

Macierze zespolone 2x2 o wyznaczniku 1 tworzą grupę, oznaczana jest SL(2,C) (SL oznacza "special linear") . Ta grupa macierzy jest niesłychanie ważna. Koduje transformcje Lorentza - przejścia pomiędzy inercjalnymi układami odniesienia.

Jeśli X jest macierzą hermitowską kodującą zdarzenie (x0,x1,x2,x3), zaś A jest macierzą z SL(2,C), to X' = AXA* jest też macierzą hermitowską. Koduje inne zdarzenie, o współrzędnych (x'0,x'1,x'2,x'3). Jaki jest związek pomiędzy współrzędnymi z primem a tymi bez prima? Łatwo to wyliczyć (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina):

x'^α = δ^α_β x'^β = ½ tr(σ_ασ_β) x'^β = ½ tr(σ_αX')  =  ½ tr(σ_αAXA*) = ½ tr(σ_αAx^βσ_βA*) = ½ tr(σ_αAσ_βA*)x^β

Oznaczając

L^α_β = ½ tr(σ_αAσ_βA*)         (*)

mamy

x'^α = L^α_β  x^β

Macierz rzeczywista 4x4 L^α_β jest macierzą transformacji Lorentza. Formuła (*) pozwala nam otrzymać z zespolonej macierzy A rzeczywistą macierz L. Zauważmy, że macierze A i -A definiują tę samą macierz L.

Czy formułe tę można odwrócić? Czy z macierzy L można znaleźć macierz A? I to jest mój problem. Moja zmora z ostatniego tygodnia. W pracy G. B. Mainland & L. O'Raifeartaigh, "Fixed point theorem for the Poincaré group", doi 10.1007/BF00670981

znajdujemy formułę na odwrócenie. Oto ona:

Jeśli zidentyfikujemy macierz Λ_νμ z tej pracy z naszą macierzą L^μ_ν , to formuła (A1) zgadza się z naszą (*) Trzeba jedynie wziąć pod uwagę, że pod śladem mamy tożsamość tr(AB)=tr(BA) dla dowolnych macierzy A,B.  Wraz z Kleopatrą sprawdzaliśmy (A2) na przykładach z mojej książki Quantum Fractals używając powszechnie dostępnego programu Reduce. Sprawdziliśmy też, że sprawdza się na losowo wygenerowanej macierzy A z SL(2,C)_.

Ale jak formułę (A2) udowodnić ogólnie?

Oto jest mój problem, który spać mi nie daje od tygodnia. Fotony patrzą z góry i uwierzyć nie mogą, że na czymś takim można się zaciąć.... David Hilbert powiedział "Musimy wiedzieć - będziemy wiedzieć". Kurt Gödel wykazał, że sprawy są bardziej złożone. Nie wszystko co "musimy wiedzieć" możemy wiedzieć.

Jednak tutaj mamy prostą algebrę. Jak więc udowodnić (A2)? Musi istnieć ogólny dowód. Musi.

Tylko jak go znaleźć?

P.S. Na losowo wygenerowanej macierzy sprawdziłem następującą hipotezę (oznaczenia ze wspomnianej pracy)

√ det ( D D*) = 4 tr(L)

Ale jak to udowodnić? Znów nie wiem.

P.S. W komentarzu pod notką bloger tichy zwrócił moją uwagę na fakt, że przecież dowód (A2) podany jest w "Dodatku" do cytowanego artykułu! A ja ten dodatek przeoczyłem. Podaję zatem teraz moją wersję dowodu z tego dodatku. Przede wszystkim potrzebna nam jest jedna ważna formuła, która powinna była się znaleźć w notce, ale się nie znalazła:

Aσ_αA* = σ_β L^β_α                      (**)

Aby ją otrzymać zauważamy, że cztery macierze Pauliego tworzą bazę w rzeczywistej przestrzeni liniowej macierzy hermitowskich. Dla danego α macierz Aσ_αA* jest hermitowska, zatem jest rzeczywistą kombinacją liniową macierzy σ_β. Co zapisujemy jako

 Aσ_αA* = σ_β M^β_α

Mnożąc z prawej przez  ½ σ_μ i biorąc ślad z obu stron i używając (1) dostajemy

½ tr(Aσ_αA*σ_μ) = M^β_α  δ_βμ = M^μ_α

Ale lewa strona, z (*) to  L^μ_α  . Czyli M=L. i (**) jest dowiedzione.

Autorzy artykułu udowadniają najpierw ogólną tożsamość: dla dowolnej macierzy N, 2x2 , mamy

σ_α N σ_α = 2 tr(N) I,    (***)

suma po α. I to macierz jednostkowa. Można to pokazać tak jak robią autorzy, dowód na niemal pół strony, mozna to jednak zrobić przy pomocy następującego krótkiego programiku w Reduce:

A:=mat((a11,a12),(a21,a22)); array s(3);
s(0):=mat((1,0),(0,1)); s(1):=mat((0,1),(1,0)); s(2):=mat((0,-i),(i,0)); s(3):=mat((1,0),(0,-1));
A1:=(for i:=0:3 sum s(i)*A*s(i));
end;

Oto wynik zapuszczenia tego kodu:

    Mnożymy teraz obie strony (**) z prawej przez ησ_α i sumujemy po α. Korzystając z (***) otrzymamy

2tr(A*η) A = D, gdzie D =  L^β_α   σ_β ησ_α

Zatem macierz D jest proporcjonalna do macierzy A. Biorąc wyznacznik z obu stron, ponieważ det(A)=1, dostajemy, że (2tr(A*η))²=det(D), czyli 2tr(A*η)= ± √det(D). Zatem A=± D/√det(D).  Dzięki tichemu za tę uwagę