Ketologia stosowana: Ech, te kety - projektory

Miałem notkę "Ech, te macierze", miałem notkę "Ech, to pole", a teraz przyszedł czas na trzecie echanie: Ech, te kety -  projektory - toną we mgłach.

Mgły należy rozjaśniać. Gdy wokół ciemno, należy samemu być światłem. Wiedzą o tym świetliki. Biolominescencja - ciekawe zjawisko.

Tylko nie do każdego światła należy tak od razu lecieć, bo się może źle skończyć:

Bioluminescencji bez mechaniki kwantowej zrozumieć dogłębnie się nie da (co nie oznacza, że mechanikę kwantową zrozumieć, tak bez wysiłku, się da). Nie darmo Richard Feynman napisał "QED - Osobliwa teoria światła i materii." QED to Quantum Electrodynamics - Elektrodynamika kwantowa.

A jak materia przekształca się w światło? Dzięki istnieniu antymaterii. Matematycznie  antymaterię otrzymujemy z materii przez sprzężenie CPT - patrz Wikipedia Symetria CPT. Wchodzi w tę symetrię sprzężenie zespolone. Bez niego ani rusz. Kto ma uszy niechaj słucha (to do licealistów).

Zapytał Bjab w komentarzu pod poprzednią notką o projektory (operatory rzutowe, ściślej: operatory rzutu ortogonalnego w zespolonej przestrzeni Hilberta) w kontekście dyskusji o prostej matematyce kubita (kubity to nasza technologiczna przyszłość - kto ma uszy niechaj słucha).

No i o tym jest dzisiejsza notka. Dość filmów z Youtube, czas na obrazek z mojej tablicy:

Nasza przestrzeń Hilberta to C². Dwuwymiarowa. Najprostsza nietrywialna. Jej wektory to pary liczb zespolonych, zapisywane jako wektory-kolumienki, jak ta kolumienka z b₁,b₂ w formule (1). W notacji wprowadzonej przez Diraca zapisujemy taką kolumienkę po prostu jako | b >. Mówimy na to "ket" (nie mylić z kotem). Gdy kolumienkę poddamy transpozycji i sprzężeniu zespolonemu (razem nazywa się to sprzężeniem hermitowskim) otrzymujemy wiersz. W (1) mamy wiersz  |a>.

Uwaga: w dalszym ciagu zamienię nawiasy dzióbkowe na okragłe, bowiem salonowy edytor ma pewne kombinacje dzióbków uczulenie, złości się i potrafi usunąć cały następujacy po dzióbkach paragraf.

Innymi słowy: by otrzymać iloczyn skalarny wektorów |a) i |b), poddajemy |a) sprzężeniu hermitowskiemu, otrzymujemy wiersz. Po pomnożeniu, zgodnie z zasadami mnożenia macierzy otrzymujemy macierz jedno-elementową, liczbę (zespoloną) - jak w formule (1).

Możemy jednak zrobić inaczej, jak w formule (2), biorąc iloczyn | b )( a |. Otrzymamy macierz 2x2, którą możemy podziałać na wektor-kolumienkę | c ). W notacji Diraca będziemy mieli

[| b )( a |] |c)

Jeśli opuścimy nawiasy [ ], oraz zamienimy "||" na "|" (i to jest zaleta notacji Diraca), możemy to odczytać jako

| b )( a | c )

Ale   ( a | c ) to iloczyn skalarny wektorów | a ) i | c ), zatem liczba. Zaś | b ) po lewej to wektor. Liczbę warto zapisać po lewej stronie wektora. Otrzymamy więc ( a | c ) | b ). Wektor proporcjonalny do | b ).

I faktycznie, można to sprawdzić mnożąc macierz po prawej stronie równania (2) przez wektor kolumienkę |c).

Notacja Diraca pozwala na zautomatyzowanie rachunków. Oto kolejna tablica (tym razem nieco integracyjnie rozwodniona)

Jeśli wektor-ket | a ) jest unormowany (ma normę 1), wtedy  P²= | a )( a | a )( a | = P.

P jest operatorem rzutowym, rzutujacym dowolny wektor |c) na kierunek wektora |a). W samej rzeczy (znów używając skrótów Diraca):

P| c )=| a )( a | c ) = ( a | c ) | a )

W działaniu na dowolny wektor otrzymujemy wektor proporcjonalny do wektora | a ) - rzut prostopadły  wektora | c ) na kierunek wektora | a ). Ściślej: na jednowymiarową podprzestrzeń rozpiętą na wektorze | a ).

Przy tym P | a ) = | a ). To jasne: rzut wektora na swój własny kierunek to sam wektor. Dlaczego "rzut prostopadły (inaczej: ortogonalny)"? Bowiem, jeśli |c) jest prostopadły do | a ), co oznacza dokładnie tyle, że iloczyn skalarny (a|c)  jest zerem, wtedy

P | c )=( a | c )  | a ) = 0.

A co jeśli | a ) nie jest unormowany? Wtedy, jak się łatwo przekonać,  P = | a )( a | / ||a||² jest projektorem. Wygodniej jednak wektory z których operatory budujemy mieć od razu unormowane.

Z projektorów (hermitowskich idempotentów) budujemy kwantową logikę ze swym "kwantowym rachunkiem zdań".  Ale o tym w kolejnych notkach.

P.S. W komentarzu pod tą notką bloger Tichy dał link do swojej notki o stanach i stanikach. Link otworzyłem i co się moim oczom ukazało? To

Wielki brat czuwa?