Sfera Blocha - kwantowa łysina

U wejścia do Akademii Platona wisiał podobno napis: "Niech nikt kto nie jest geometrą nie waży się tu wchodzić." Niewątpliwie był to elitaryzm.

Mam wielka powagę dla geometrii, ale czyż algebra nie jest tak samo ważna? A może i ważniejsza?

Co było pierwsze? Geometria czy algebra?

Może faktycznie geometria, bowiem ludzie widzieli i rzeźbili sfery jeszcze zanim znali dla tych sfer formuły. Ale odkąd poznali formuły, wiedza wkroczyła na wyższe piętro.

Liczby, konkretnie ciała liczbowe, należą do algebry. Wsród tych ciał najważniejsze to ciało liczb zespolonych. Fizyka bez liczb zespolonych byłaby uboga i prymitywna. Nie dałoby się opisać oddziaływania światła (a ogólniej: elektromagnetyzmu) z materią, nie byłoby mechaniki kwantowej. Byłoby tak jakoś 18-wiecznie. Też ciekawie, ale jakoś ociężale. A z liczbami zespolonymi jest miło i lekko. A wszystko to dzięki FAZIE.

Trójwymiarowa sfera daje się zaczesać. Jest na niej nieosobliwe pole wektorowe. To pole styczne do linii parametru psi o czym rozmawialiśmy w poprzedniej notce Co scala świat? Kwantowa faza. Parametr psi to kwantowa faza. W podręcznikach mechaniki kwantowej dowiadujemy się, że nieobserwowalna a jednak niezbędna. Tak jak potencjały pola elektromagnetycznego - niby nieobserwowalne, a jednak bez nich nie dałoby się żyć. Dziwny jest ten świat.

Dziś pozbędziemy się fazy-zaczesania. Zostanie goła łysina. To co obserwowalne to kwantowa łysina - tzw. sfera Blocha. Przestrzeń kwantowych stanów, a nie "wektorów stanu". W kawiarni "Pod Kubitem" podają tę sferę na talerzyku, podlaną  sosem czekoladowym.

Od wektorów do projektorów.

Dla kubita (elementarnego układu kwantowego) wektor stanu to para liczb zespolonych. Powiedzmy (z_1,z₂). Każdą z tych dwóch liczb zespolonych zapisujemy przy użyciu pary liczb rzeczywistych. Robiliśmy to tak: z₁=X+iY, z₂=Z+iW.  W sumie zatem możemy operować liczbami rzeczywistymi X,Y,Z,W, ale algebra liczb zespolonych ma swoje mnożenie, kiedy to urojone "i" w kwadracie = -1. W szkole podstawowej uczą nas, że kwadrat każdej liczby jest nieujemny, w liceum uczą (albo i nie uczą), że dotyczy to tylko liczb rzeczywistych, zaś liczby zespolone tej reguły się nie słuchają. Z pożytkiem dla nich i dla fizyki.

Do czego służą te wektory stanu? Do dwóch rzeczy. Po pierwsze, jak to zwykle bywa, stan zmienia się w sposób ciągły wraz z upływem czasu. (Co to jest ten "czas" - to meta-pytanie, na razie zamiatane pod dywan). Wiadomo, nasz stan psychiczny zmienia się w czasie, fazy Księżyca zmieniają się w czasie, po wiośnie przychodzi zima itp. Kubit zwykle z czymś oddziaływuje, zwykle z jakimś potencjałem zewnętrznym,  i w wyniku tego oddziaływania stan zmienia się z czasem, w sposób ciągły. Te zmiany opisujemy liniowym równaniem Schrodingera. Równanie Schrodingera jest od samego początku  liniowe. Ma to swoje zalety, ale daje też powody do narzekań - że jest zbyt prymitywne, ubogie, kalekie. Jak będzie w przyszłości? Pożyjemy. Zobaczymy.

Stan kubita może też ulegać zmianom skokowym - w wyniku "pomiarów". Te "pomiary" to ciągle jeszcze sprawa elitarna. Są zagorzali przeciwnicy "skoków". Zwalczające się obozy i sojusze. Słynni fizycy przechodzili z obozu do obozu przeciwnego (Schrodinger na przykład od skoków do nieskoków). Dziś jakby wygrywają skokowcy (a wraz z nimi autor tej notki).

Dygresja: O skokach kubita napisałem całą książkę "Quantum Fractals" Dzięki pomocy Bjaba ostatnio zidentyfikowałem masę potknięć w tej mojej książce. Na szczęście, dzięki inicjatywie Bjaba,  w witrynie wydawcy (World Scientific) już się ukazała Errata. Przy następnym druku poprawki zostaną uwzględnione.

Skoki z danego punktu w ten czy inny punkt odbywają się z okreslonymi "prawdopodobieństwami". Prawdopodobieństwo, gdy się stoi na nogach a nie na głowie, to liczba pomiędzy zerem a jedynką. By formuły na prawdopodobieństwa słuchały się tej reguły, wektory stanu normuje się do jedynki. Przy użyciu liczb  rzeczywistych X,Y,Z,W to "normowanie" sprowadza się do tego, że wektor stanu leży na trójwymiarowej sferze S³. To znaczy X²+Y²+Z²+W² = 1. Tę sferę sparametryzowaliśmy kątami:

X = sin (φ/2) cos ( ψ)
Y = sin (φ/2) sin ( ψ)
Z= cos (φ/2) cos ( θ+ψ)
W = cos (φ/2) sin ( θ+ψ)

0 ≤  φ ≤   π,  0  ≤  θ,ψ  ≤  2π

Pęta się tam jednak kąt psi - niewidzialna (choć piękna) faza. Nietrudno się jej pozbyć. Zrobimy to teraz korzystając z algebry.

Zamiast wektorów stanu lepiej użyć jednowymiarowych podprzestrzeni (zespolonych) rozpinanych przez te wektory. Taka "zespolona prosta" zamiast wektora. Wektory proporcjonalne rozpinają tę samą prostą, zatem podprzestrzeń jest na fazę nieczuła. Ale jak opisać "podprzestrzenie"? Od tego jest algebra. Operator rzutu ortogonalnego na jednowymiarową podprzestrzeń rozpiętą przez unormowany wektor [z₁,z₂] dany jest przez macierz kwadratową hermitowską P następującej postaci

P_ij = zb_i z_j

gdzie zb to liczba  zespolona sprzężona do z. Zatem jeśli z₁ = X+iY, to zb₁ = X-iY.

Podstawiając nasze formuły na X,Y,Z,W możemy naszą macierz P łatwo wyrachować. Oto jak mi wyliczyła Mathematica:

:

Widać, że psi całkowicie zniknęło. Zostały kąty phi i theta. Kąty phi i theta to szerokość i długość geograficzna na sferze. Na sferze stanów kubitu. Na sferze Blocha. tej pozbawionej włosów, łysej. Bez czupryny i bez peruki. Znam to z własnego doświadczenia, bo sam byłem łysy przez rok. Teraz już odrasta mi faza.

Macierz P jest hermitowska: jest równa zespolenie sprzężone transponowanej.  To dobrze. Kwantowe "obserwable" winny być hermitowskie, wtedy mają miłą własność, że ich wartości własne są rzeczywiste. Co więcej, kto umie mnożyć macierze i zna wzory trygonometryczne, ten się może przekonac, że P² = P (Mathematica je zna i to potwierdza). Kwadrat macierzy jest równy jej samej.  Macierz jest "idempotentna", jej wartości własne są 0 i 1, bo tylko te dwie liczby rzeczywiste mają tę własność, że ich kwadrat jest równy im samym.