Co scala świat? Kwantowa faza.

Odkąd pojawiła się mechanika kwantowa, pojawiły się wraz z nią przeróżne "zakazy". Jest więc na przykład "zakaz Pauliego". Tak on wygląda w witrynie ifj.edu.pl:

Co scala świat? Zakaz Pauliego

W pewnym okresie fizycy uważali, że żadne dwie cząstki o jednakowym stanie kwantowym nie mogą współistnieć w tym samym miejscu i czasie. Reguła ta zwana jest zakazem Pauliego i wyjaśnia ona, dlaczego istnieje chemia.

Lecz później odkryto, że pewna grupa cząstek nie podporządkowuje się tej regule. Cząstki, które podlegają zakazowi Pauliego, nazywamy fermionami, a te, które zakaz ten ignorują - bozonami.

Jest jeszcze zakaz Heisenberga:

"Nie będziesz mierzył jednocześnie pędu i położenia tej samej cząstki".

Pisałem o tym kiedyś w notce Rozkład Wignera i kwantowe upiory.

No i jest zakaz nas dzisiaj dotyczący: nie będziesz obserwował fazy funkcji falowej. Za próby obserwacji fazy wektora stanu grożą męki piekielne i smażenie się w smole przez całe długie wieki. Obserwowanie fazy funkcji falowej jest zabronione i kara za nie jest w tym samym rozdziale kodeksu kar co obserwacja potencjałów elektromagnetycznych. Potencjał jest nieobserwowalny - głosi Biblia. Jak również "podłużne fotony". Fotony bywają tylko poprzeczne. Koniec-kropka.

Powróćmy do fazy i się jej przyjrzyjmy. Na prostym przykładzie - kubita.

Przypomnijmy, że wektor stanu to para liczb zespolonych (X+iY, Z+iW). Czemu "para"? Przecież jedna liczba zespolona to byłoby coś bardziej podobnego do "podstawowej cegiełki kwantowej" . Parę można przecież rozłożyć. Kubit to powinna być jedna liczba zespolona a nie dwie! Niby prawda, ale to przejście od 1 do 2 to przejście ilości w jakość. Przestrzeń jednowymiarowa to by były po prostu liczby zespolone. W jednowymiarowej przestrzeni operatory liniowe to mnożenia przez liczby, a mnożenia przez liczby są przemienne. Tymczasem istotą kwantowości jest nie tyle zespoloność, ile nieprzemienność. Macierze 2x2 tworzą algebrę nieprzemienną, macierze 1x1 - przemienną.

Zatem kwantowość zaczyna się od dwóch a nie od jednego. Odczuł to Adam gdy był sam jeden w raju. Umierał z nudów. Pojawiła się Ewa a z nią nieprzemienność, chaos, kwantowe fraktale i nieobliczalność. Świat od razu stał się ciekawy, nieprzewidywalny!

Zmiana fazy wektora to pomnożenie go przez liczbę zespoloną o module jeden, postaci

e^iα = cos α + i sin α

Pomnożenie wektora przez liczbę, to pomnożenie obu jego składowych, zatem X+iY oraz Z+iW mnożymy przez cos α + i sin α.

W poprzedniej notce, Rysowanie kubita, przedstawiliśmy X,Y,Z,W unormowanego wektora w postaci trygonometrycznej, Przypomnę

X = sin (φ/2) cos ( ψ)
Y = sin (φ/2) sin ( ψ)
Z= cos (φ/2) cos ( θ+ψ)
W = cos (φ/2) sin ( θ+ψ)

0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ,ψ ≤ 2π

Prosty rachunek, który tutaj pominę (chyba, że ktoś go będzie ciekaw i mnie popoprosi) prowadzi do wniosku, że pomnożenie wektora przez cos α + i sin α jest równoważne powiększeniu o α kąta ψ. Innymi słowy: sam kąt ψ możemy uważać za "fazę". Kąt ψ jest (według kwantowej Biblii i kodeksu) "nieobserwowalny", co jest równoważne temu, że od kwantowych "operatorów" wymagamy by były liniowe względem mnożenia przez liczby zespolone. Wtedy "faza" przechodzi przez takie operatory "jak woda" - nie ma wpływu na prawdopodobieństwa kwantowych skoków i przejść.

No dobrze. Przyjmijmy, że faza ψ jest nieobserwowalna. Chciałoby się na naszym obrazku, tym z poprzedniej notki, narysować pole wektorowe styczne do tych nieobserwowalnych kierunków wzrostu fazy. Musimy obliczyć pochodne X,Y,Z,W po psi. Te pochodne będą składowymi pola wektorowego stycznego do linii współrzędnej ψ. Zauważmy, że pochodna cosinusa to minus sinus, zaś pochodna sinusa to cosinus. Oznaczając nasze pochodne po ψ przez X',Y',Z',W' otrzymamy w ten sposób skłądowe naszego pola wektorowego:

X' = -Y, Y' = X, Z' = -W, W' = Z

Pamiętając o tym, że X²+Y²+Z²+W²=1 (równanie sfery S³) widzimy, że to pole nigdzie nie znika. "Zaczesaliśmy" więc naszą sferę.

Chcielibyśmy to pole wektorowe jakoś sobie wyobrazić. W tym celu musimy przedstawić je we współrzędnych x,y,z rzutu stereograficznego z poprzedniej notki:

x = X/(1-W)
y = Y/(1-W)
z = Z/(1-W)

Potrzebne nam pochodne x,y,z po psi. W tym celu musimy skorzystać ze wzoru na pochodną ilorazu. Otrzymamy w ten sposób (jeśli się nie pomyliłem)

x'=X'/(1-W) + XW'/(1-W)²
y'=Y'/(1-W) + YW'/(1-W)²
z'=Z'/(1-W) + ZW'/(1-W)²

Podstawijąc nasze formuły na X',Y',Z',W'

x' = -y + xz
y' = x + yz
z' = -w +z²

Teraz wstawiam to do programu Mathematica by mi to pole program wyrysował .... i nic ciekawego nie wychodzi. Nawet nie będę pokazywał! Zamiast tego pokażę kwantowy jaśmin:

Lepiej więc narysować linie tej niewidocznej fazy. Narysuję więc linie współrzędnej psi przy stałych phi oraz theta

ParametricPlot3D[Table[{X[theta, phi, psi]/(1 - W[theta, phi, psi]),
   Y[theta, phi, psi]/(1 - W[theta, phi, psi]),
   Z[theta, phi, psi]/(1 - W[theta, phi, psi])}, {theta, Pi/4, 2 Pi,
   Pi/4}, {phi, Pi/4, Pi, Pi/4}], {psi, 0, 2 Pi}, PlotRange -> All]

Nie jestem z tego rysunku specjalnie dumny, ale co zrobić....

P.S. Zamówienie Bjaba z poprzedniej notki: "pokazać linie parametru phi". Postąpię nieco może dziwnie. Mam ku temu swoje powody. Mianowicie wybiorę inne "źródło światła" dla rzutu stereograficznego. Mój nowy rzut stereograficzny będzie miał taką postać:

x = X/(1-Y)
y = Z/(1-Y)
z = W/(1-Y)

Teraz w nieskończoność odchodzi punkt (X,Y,Z,W)=(0,1,0,0) . Przy tym rzucie rysuję powierzchnię (phi,theta) przy ustalonym psi=0.

q1 = ParametricPlot3D[{X[theta, phi, psi]/(1 - Y[theta, phi, psi]), Z[theta, phi, psi]/(1 - Y[theta, phi, psi]), W[theta, phi, psi]/(1 - Y[theta, phi, psi])} /. psi -> 0, {phi, 0, 2 Pi}, {theta, 0, 2 Pi}, Mesh -> {20, 20}, PlotStyle -> {Orange, Specularity[White, 10]}, PlotRange -> All,
PlotPoints -> 50]

Wychodzi coś takiego

Kładę teraz psi= Pi i co wychodzi?

Gdy złożę te połówki razem, wyjdzie cała sfera. Ale cała sfera wychodzi także wtedy, gdy poprzestanę na psi=0, ale pozwolę parametrowi phi przebiec od 0 do 4 Pi:

q12 = ParametricPlot3D[{X[theta, phi, psi]/(1 - Y[theta, phi, psi]), Z[theta, phi, psi]/(1 - Y[theta, phi, psi]), W[theta, phi, psi]/(1 - Y[theta, phi, psi])} /. psi -> 0, {phi, 0, 4 Pi}, {theta, 0, 2 Pi}, Mesh -> {21, 20}, PlotStyle -> {Orange, Specularity[White, 10]}, PlotRange -> All,
PlotPoints -> 50]