Kwantowy kubit na warsztacie

Elementarny układ kwantowy zwie się dziś "kubitem". Wprowadziłem tego jegomościa w poprzedniej notce "Kwantowe kubity" pisząc tam w szczególności tak:

"Jednak wraz z mechaniką kwantową pojawiło się nowe pojęcie: spin. Spin 1/2 może być uznany za "monadę" czy "atom" wszelkich wszelkości, i stany takiego czystego spinu, bez położeń i pędów, ot spin i tyle, opisywane są wektorami w dwu-wymiarowej przestrzeni Hilberta. Taki elementarny spin 1/2 nazywa się dziś kubitem (ang. qubit), i z kubitów, można powiedzieć, buduje się dziś kwantowe komputery. Bawić się kubitami - to czysta algebra. "

I tą algebrą się zajmiemy. Zobaczymy, że to nie tylko algebra, ale i geometria, i przy tym miła dla oka. Jednak licealiści, którzy tu zaglądają muszą być zaznajomieni z liczbami zespolonymi. Bez tego ani rusz, zajrzeć do kuchni kwantowej bez fartucha uszytego  z liczb zespolonych się nie da. Szef kuchni  nie wpuści!

Zacznijmy od tej "dwu-wymiarowej" przestrzeni Hilberta. Z polskiej Wikipedii będzie nam przydatne hasło "Sfera Blocha" - do której to sfery będziemy się od czasu do czasu odwoływali, choćby po to by powiązać nasze obiekty z tymi z Wikipedii. Przy tym, jak to zwykle bywa, Wikipedia polska jest ubogą siostrą  angielskiej, gdzie hasło "Bloch sphere" jest imponująco rozbudowane.

Dwuwymiarową zespoloną przestrzeń Hilberta możmy zrealizować jako  C², przestrzeń par liczb zespolonych. Element, powiedzmy, ψ tej przestrzeni to para liczb zespolonych ψ =  [α, β], którą to parę powinienem zapisywać jako koluminkę, α na górze, β na dole, tak jak to się zwykle zapisuje składowe wektora. Jest to szczególnie wygodne, gdy na wektory działamy macierzami (z lewej strony). Jednak ze względu na ograniczone możliwości edytorskie będę koluminkę zapisywał poziomo.

Aby mieć "przestrzeń Hilberta" potrzebny nam jest iloczyn skalarny wektorów. Jeśli ψ =  [α, β], ψ' =  [α', β'], to iloczyn skalarny (ψ,ψ') jest definiowany jako

 (ψ,ψ') = α* α' + β* β'

gdzie * oznacza wzięcie sprzężenia zespolonego. W szczególności norma wektora w kwadracie ||ψ||² definiowana jest jako

||ψ||² =  (ψ,ψ) = α* α + β* β = |α|² + |β|²

Podczas gdy iloczyn skalarny dwóch wektorów jest  na ogół liczbą zespoloną, to norma w kwadracie jest zawsze liczbą dodatnią, chyba, że wektor jest wektorem zerowym, wtedy (i tylko wtedy) jego norma jest zerem.

Zanim pójdziemy dalej, może powiążmy najpierw naszą notację z notacją używaną w Wikipedii, często obecną w podręcznikach mechaniki kwantowej. Tam wektor ψ  zapisywany jako tzw. "ket: | ψ  > , zaś formuła ψ =  [α, β] zapisywana jest jako

| ψ  >  = α | 1  >  + β | 0 >

Rozumiemy przy tym, że wekory (kety) | 0  >   i  | 1 >  tworzą bazę, w naszych oznaczeniach

| 1  >  = [1,0],

| 0  >  = [0,1].

W porównaniu z polską Wikipedią zamieniłem rolę | 0  >  i | 1  >, bo wydaje mi się, że powinno być tak jak to jest u mnie, a nie tak jak w Wikipedii.  | 1  >  powinno oznaczać  "spin w górę", zatem [1,0]; | 0  > powinno oznaczać "spin w dół" zatem [0,1].

Czemu takie symbole u fizyków - do tego z biegiem czasu dojdziemy. Na razie zauważmy tylko, że wektory-kety reprezentują "stany kwantowe" kubitu (czy kubita?). A że w mechanice kwantowej nie można się obejść bez prawdopodobieństw, a prawdopodobieństwa są (przy zdrowych zmysłach) reprezentowane przez liczby pomiędzy zerem i jedynką, stąd też fizycy wykombinowali, że formuły na prawdopodobieństwa się znacznie uproszczą, gdy wektory -kety będziemy normowali do jedynki:

||ψ||² =  (ψ,ψ) = α* α + β* β = |α|² + |β|² = 1.

Przy tym α i β to liczby zespolone, każda z nich ma część rzeczywistą i urojoną. Zapiszmy zatem

α = X + iY

β = Z + iW

gdzie X,Y,Z,W to liczby rzeczywiste. Teraz |α|² = X² + Y²,  Teraz |β|² = Z² + W²,  zatem warunek normowania zapisujemy jako

X² + Y² + Z² + W² = 1

Jest to równanie 3-wymiarowej sfery w czterowymiarowej przestrzeni. Skoro sfera jest 3-wymiarowa, to powinno się dać ją namalować w 3-wymiarowej przestrzeni! Jak ona wygląda? Jak ją sobie wyobrazić?

Pisałem już o tym kiedyś.  A w kolejnych notkach będę pisał od nowa. Póki co, z wyprzedzeniem, oto fragment ćwiczeń rysunkowych architekta pracującego nad konstrukcją trój-wymiarowej sfery reprezentującej stany kubitu: