Wariacja na temat lambdy

Czy lepiej być otwartym czy zamkniętym?  Czy lepiej być konsekwentnym czy elastycznym? Czy lepiej służyć innym czy sobie? Czy dzielić się swymi pomysłami i projektami, czy też lepiej zatrzymać je dla siebie? Odpowiedź na te pytania zależy od tego co rozumiemy przez „lepiej”? „Lepiej” dla kogo? Lepiej w jakim sensie i w jakiej perspektywie? Czy lepiej jest być trzeźwym czy może pijanym? Każdy musi sobie sam odpowiadać na te pytania. Ja na przykład staram się być otwartym, ale czy zawsze taki jestem? Staram się pomagać innym, ale czy zawsze pomagam? Może czasem wręcz przeszkadzam? A już z pewnością konsekwentny nie jestem. W poprzedniej notce obiecywałem, że napiszę teraz o operatorze a_F w kwadracie, a zamiast tego zdecydowałem się pójść za uwagą Bjaba z poprzedniej notki:

„Przyglądam się formule (11).
Operator lambdaF jest jakiś skomplikowany. Pierwszy składnik po prawej stronie tej formuły jakby podwyższa rząd lambdaF(u) a drugi obniża rząd lambdaF(u).”

I notka dzisiejsza jest rozwinięciem mojej odpowiedzi z notki poprzedniej, gdzie napisałem:


„"Operator lambdaF jest jakiś skomplikowany."

Tak. Tak właśnie jest. Podobnie jak w kwantowej teorii pola. Operator pola jest kombinacją liniową operatorów tworzenia i niszczenia:

https://physics.stackexchange.com/questions/133372/quantum-field-theory-field-operators-in-terms-of-creation-annihilation-operator „

No właśnie. Algebra tensorowa T(V) kojarzy mi się z przestrzenią Focka. Wspominałem  o niej kiedyś w notce „W przestrzeni Foka”

V to przestrzeń stanów kwantowych jednej cząstki. Jedynka 1 w T⁰(V) to wektor stanu „kwantowej próżni”. T²(V) to stany dwucząstkowe, T³(V) to stany trzy-cząstkowe. I tak dalej.

Jest wszakże istotna różnica. W kwantowej teorii pola przestrzeń wektorów stanu jest przestrzenią Hilberta z ustalonym iloczynem skalarnym. A u mnie, tutaj, w V żadnego iloczynu skalarnego jeszcze nie ma. Przeciwnie, mam całą rodzinę form biliniowych F i, jak się okaże, będę mógł swobodnie po tych formach F wędrować. To wszystko w związku z pomysłem-ideą, którą przedstawiłem kiedyś w artykule „Bioelektronika w oczach fizyka teoretyka”. Pisałem tam:

Czy można materię sprowadzić do geometrii albo przeciwnie, geometrię do materii? Wszystkie dotychczasowe próby takiego "ujednolicenia na siłę" ogólnej teorii względności okazały się - jeśli nie liczyć efektów ubocznych - bezpłodne. Podobnie, dualizm energia - informacja może mieć charakter pierwotny. Ciągnąc tę analogię dalej: tak jak pole grawitacyjne zakrzywia czasoprzestrzeń (patrz Nota 6) tak pole informacji może zakrzywiać przestrzeń stanów. Zmieniać geometrię przestrzeni stanów kwantowych. Umożliwiać przepływ energii i informacji nowymi kanałami. Teraz kwantowa materia otrzymuje godnego partnera, tak jak pole grawitacyjne jest godnym partnerem klasycznej materii. Tak jak pole grawitacyjne jest lokalne w czasoprzestrzeni, tak pole informacyjne jest lokalne w przestrzeni Hilberta, gdzie "blisko" oznacza "podobnie"(Nota 8). Geometria pola informacyjnego winna być, jak już powiedzieliśmy - geometrią nieliniową. Jedynie nieliniowość tłumaczyć bowiem może stabilność struktur takich jak struktura życia. Z fenomenem życia związać można by wtedy niezmiennik topologiczny (w rodzaju wiru) w nieliniowej geometrii pola informacji. Fizyczne i chemiczne procesy  życiowe byłyby wtedy sterowane kwantowym sprzężeniem pomiędzy informacją a materią.

Ta idea jest wciąż aktualna i nie ulega dla mnie wątpliwości, że ktoś, kiedyś, za zrealizowanie tej idei dostanie Nobla. I ja sam powoli też w tym kierunku człapię.

Wracam jednak do pytania Bjaba i lambdaF: zrozumiałem lepiej o co tu chodzi gdy byłem w szpitalu, 25-go grudnia. Czytałem wtedy rozdział 5.7, Pfaffians, w podręczniku D.G. Northcotta „Multilinear algebra”. Kierując się odnośnikiem u Nortcotta zajrzałem do Chevalleya „Fundamental concepts of algebra”. Chevalley ma rozdział „The Pfaffian of an alternating bilinear form”. I wtedy zrozumiałem, że przecież mogę wziąć tę ideę od Chevalleya i zaadaptować ją do mojego przypadku. I tak zrobiłem. Chevalley, a za nim Nortcott, robią to dla algebry zewnętrznej. Ja zaadoptowałem tę ideę dla algebry tensorowej. I  od razu zrobiło mi się jaśniej w głowie. I teraz, przy okazji pytania Bjaba, mogę o tym wspomnieć.

Niech F będzie formą biliniową (iloczynem skalarnym, być może zdegenerowanym) na V. Dla każdego x z V wprowadźmy operator liniowy Λ_x^F na T(V) zdefiniowany jako (definicje są w poprzedniej notce)

Λ_x^F = e_x +i_x^F

Część e_x podwyższa o jeden rząd tensora. To jakby operator tworzenia (kreacji) cząstki (na pierwszym miejscu). Część i_x^F obniża o jeden rząd tensora. To jakby operator niszczenia (anihilacji) cząstki, tyle, że jakoś dostosowany do fermionów, cząstek o spinie połówkowym, podlegającym statystyce Fermiego. Jest tu jakaś niekonsekwencja, które mi się nie podoba, ale matematycznie wszystko jest w porządku. Suma  operatora kreacji i anihilacji to operator pola.

Przy ustalonym F odwzorowanie x → Λ_x^F  jest liniowym odwzorowaniem z przestrzeni liniowej V w algebrę endomorfizmów End(T(V)) przestrzeni T(V) . Możemy zatem skorzystać  z uniwersalnej własności algebry tensorowej wymienionej w punkcie 2 definicji z poprzedniej notki:

Istnieje jedyne rozszerzenie odwzorowania x → Λ_x^F , oznaczymy to rozszerzenie symbolem Λ_F, do homomorfizmu algebr  Λ_F: T(V) → End(T(V)). Możemy to rozszerzenie zresztą podać konkretnie dla tensorów prostych:

Λ_F(x1⊗ … ⊗xp) = (e_x1 +i_x1^F)... (e_xp +i_xp^F  )                         (***)

Dla danego u z T(V), Λ_F(u) jest endomorfizmem (operatorem liniowym) przestrzeni T(V). Mamy przy tym

Λ_F(1) =Id,
Λ_F(u ⊗ v) = Λ_F(u) Λ_F(v)                                                       (*)

W kwantowej teorii pola operatory Λ_F(u) generują algebrę operatorów pola – podstawowy obiekt w algebraicznej kwantowej teorii pola! Och, nad tym się kiedyś męczyłem pracując nad moją rozprawą doktorską! A teraz do tego wracam. Rozstania i powroty!

Powracam więc i prezentuję dziś moje "wariacje na temat lambdaF"

Zauważmy, że z r-nia (*) mamy w szczególności

Λ_F(x ⊗ u) = (e_x +i_x^F)Λ_F(u)

dla x z V oraz u z T(V).

Dla danego u, Λ_F(u) jest operatorem liniowym na T(V). Możemy nim podziałać na jakiś tensor v i dostać nowy tensor Λ_F(u)(v). Zdefiniujmy teraz chytrze λ_F jako

λ_F(u) = Λ_F(u)(1)                                                      (**)

Mamy wtedy

λ_F(1) = Λ_F(1)(1) = Id(1) =1
λ_F(x ⊗u) =  Λ_F(x ⊗u)(1) =  Λ_F(x)(Λ_F(u)(1) )=(e_x+i_x^F)λ_F(u)

Zatem nasze tak otrzymane λ_F jest identyczne z   λ_F zdefiniowanym równaniami (10),(11) z poprzedniej notki. Z równania (***) mamy przy tym „niby jawną” postać λ_F(u)  dla prostych u

λ_F(x1⊗ … ⊗xp) =  (e_x1 +i_x1^F)... (e_xp +i_xp^F) 1

Przypomina mi to wyrażenia z podręcznika kwantowej teorii pola. Oto fragment z monografii Rudolfa Haaga „Local Quantum Physics”, Springer 1996:

Nota bene: Miło mi, że Haag w swojej monografii cytuje moje prace, i nawet moją doktorską! Jakoś dotąd tego nie zauważyłem. Na coś się w końcu ta moja praca przydała!.Trochę to jednak cieszy!

Jeśli zastąpimy wektor próżni kwantowej teorii pola Ω  przez nasze 1, zaś operatory pola φ(f) przez nasze  e_x +i_x^F (u nas jest x zamiast f), wtedy obydwie formuły się pokrywają.

Nic praktycznego dla analizowania struktury λ_F z takiego przedstawienia nie wynika, jednak zauważenie i rozwinięcie tej analogii dało mi pewną satysfakcję.

Zaś o samej strukturze λ_F, o tym co ona, ta lambda, tak naprawdę robi (a ona się na nic nie ogląda i wręcz po trupach idzie) – o tym już będzie w następnej notce.