Rozumieć co dźwięk znaczy

Czym dłużej nad moim problemem myślę, tym lepiej zdaję sobie sprawę z tego jak mało wiem i jak mało rozumiem. Tym bardziej, chwilami, sprawa wydaje się beznadziejna. A jednak: rzecz w tym, że nie rezygnując rozwijamy się. I o to przecież idzie. By rozwijać się, by dorośleć.

1Co 13:11  Gdy byłem dzieckiem, mówiłem jak dziecko, czułem jak dziecko, myślałem jak dziecko. Kiedy zaś stałem się mężem, wyzbyłem się tego, co dziecięce.
1Co 13:12  Teraz widzimy jakby w zwierciadle, niejasno; wtedy zaś [zobaczymy] twarzą w twarz. Teraz poznaję po części, wtedy zaś poznam tak, jak i zostałem poznany.
1Co 13:13  Tak więc trwają wiara, nadzieja, miłość, te trzy: z nich zaś największa jest miłość.
…
1Co 14:9  Tak też i wy: jeśli pod wpływem daru języków nie wypowiadacie zrozumiałej mowy, któż pojmie to, co mówicie? Na wiatr będziecie mówili.
1Co 14:10  Na świecie jest takie mnóstwo dźwięków, ale żaden dźwięk nie jest bez znaczenia.
1Co 14:11  Jeżeli jednak nie będę rozumiał, co jakiś dźwięk znaczy, będę barbarzyńcą dla przemawiającego, a przemawiający barbarzyńcą dla mnie.

Muszę więc zrozumieć, a to co zrozumiem muszę przekazać w zrozumiałej mowie. Inaczej będę barbarzyńcą.

W pogoni za zrozumieniem wczoraj napisałem do Jaccquesa Helmstettera, autora książki „Quadratic Mappings and Clifford Algebras”, Birkhauser 2008. Napisałem tak:

Dear Jacques,
I would like to understand the formula at the top of p. 203, (4.7.1) Definition,  of your book, where you define the deformed product using the Exp(\beta_H). You have \pi_q there, so I understand that x\otimes y is in the tensor algebra.
But I was not able to find the explicit formula for the action of \beta_H on the tensor algebra of M. Can you write down for me an explicit formula for such an action? Or at least some recursive formula similar to the way one writes the formula for a derivation in a graded algebra?
I was trying to find such a formula in your papers, but did not succeed.
Thank you in advance,
ark

Czekam na odpowiedź, a w międzyczasie idę dalej. Mam bzika na punkcie eksponencjału, nie ma chyba na to szczepionki. Więc dziś przekazuję moje myśli, w sposób możliwie zrozumiały – przynajmniej dla dwóch osób moje wynurzenia czytających.

Notka niniejsza jest kontynuacją serii notek:

Ślizgawka w charakterystyce dwa

Mateusz, Pani i Pies odkrywają anty-różniczkowania

Matematyka w krainie elfów

Bourbaki a kryptografia

Lambda F: Pytia, Sokrates i Bourbaki

Śladami Zbigniewa Oziewicza

Półgrupy operatorów i mistyka


Mam rodzinę operatorów liniowych  λ_F działających na algebrę tensorową T(V) przestrzeni wektorowej V nad ciałem K. Rodzina jest parametryzowana formami biliniowymi F: V x V → K i ma własności funkcji eksponencjalnej (patrz poprzednia notka „Półgrupy operatorów i mistyka”):

λ_F λ_G = λ_F+G.
λ₀  = Id
Przypuśćmy, że jest to eksponencjał, przypuśćmy. Ale eksponencjał czego? Chcę zgadnąć. Zgadywacz ma w zanadrzu sposoby ( „Na sposoby są sposoby”). Zakładam więc, że ciało K jest miłe, przyjazne, nie jakieś tam skończone, na przykład, nie daj Boże,  dwójkowe. Załóżmy, że ciało K to dobrze nam znajome ciało liczb rzeczywistych! Wtedy, mając formę biliniową F, rozważam formy biliniowe tF, gdzie t jest parametrem rzeczywistym. Spodziewam się, że

λ_tF  = exp(t a_F)

Wtedy, różniczkując powyższe

a_F = d λ_tF /dt dla t=0.

Chcę oswoić teraz tak otrzymany (zgadnięty) „generator półgrupy”, operator a_F. W tym celu patrzę na definicję λ_tF . Z definicji λ_F mamy:

(1) λ_F(1) = 1
(2) λ_F e_x =(e_x+i_x^F) λ_F,    x należy do V

Podstawiamy teraz tF za F

(3) λ_tF(1) = 1
(4) λ_tF e_x =(e_x+i_x^tF) λ_tF

i  różniczkujemy po t w t=0. Po lewej dostaniemy a_Fe_x. Po prawej trafimy na iloczyn i_x^tF λ_tF. Różniczkując ten iloczyn dostaniemy (korzystając z liniowości t ->i_x^tF)

d/dt (i_x^tF λ_tF)=d/dt (ti_x^F λ_tF)= i_x^F λ_tF +t i_x^F  d λ_tF /dt. Kładąc t=0 i korzystając z tego , że λ₀=Id dostajemy

(5) a_F(1) = 0
(6) a_F e_x = e_x a_F+i_x^F

I to jest nasza rekurencyjna definicja operatora a_F, generatora jednoparametrowej grupy t → λ_tF.

Równanie (6) możemy zapisać jawniej korzystając z definicji operatora e_x:

(6') a_F(x⊗u) = x⊗a_F(u) + i_x^F(u)

Operator a_F zdefiniowany równaniami (5) i (6) wygląda bardzo miło i naturalnie. Coś głębokiego się w nim z pewnością kryje. Ma sens także wtedy gdy K jest ciałem o dowolnej charakterystyce. Chciałoby się zatem nadać sens równości exp(a_F)=λ_F. Dla dowolnego ciała K. Jednak czy to prawda?  A może myślę na wiatr i mówię na wiatr?