Śladami Zbigniewa Oziewicza

Tydzień temu wędrowałem po krainie elfów „Matematyka w krainie elfów”. Tydzień temu wspominałem o odejściu mojego dobrego znajomego, Zbigniewa Oziewicza, który na długo przede mną wyczaił piękno algebr, i w szczególności algebry Clifforda. Oglądam dziś wykład Zbigniewa Oziewicza „SIUC Seminar Dr Zbigniew Oziewicz Non associativity & Isometries” zarejestrowany na Youtube i widzę tam całego Zbyszka.

Widzę,  jak zwraca się po imieniu do poszczególnych słuchaczy, tak bardzo prywatnie, adresując do nich, często w prowokujący sposób,  swoje uwagi odnośnie spraw przedtem z nimi dyskutowanych. To cały Zbyszek, taki właśnie był. A ja słuchając Go dziś  tak samo się wzburzam  jak zawsze gdy z Nim dyskutowałem: „Nie!” - wołam, "Nie zgadzam się!". W Instytucie Fizyki Teoretycznej we Wrocławiu, gdy dyskutowaliśmy na korytarzu, moje głośne  „Nie!” wywabiało czasem naszych kolegów z ich pokoi. Często nie zgadzałem się bardzo mocno z tym co Zbyszek mówił, jednak zwykle, po jakimś czasie, przyznawałem mu jakąś tam rację. Niewątpliwie był w swoim myśleniu i w swoich czynach o wiele bardziej odważny i oryginalny niż ja, który niestety miałem zawsze zbytni pociąg do zbytniego konformizmu – dopóki nie spotkałem Laury, ale to już jest inna historia.

Wyłożyłem dziś na Youtube drugi z  kolei prawie półtoragodzinny wywiad ze mną, nagrany w niedzielę, tym razem dotyczący czasu. Czym jest czas? Czy jest tylko iluzją? Czy też może, z jakiejś tam perspektywy niematerialno-duchowej, w ogóle go nie ma? I czemu dla nas tak jakby nieuchronnie płynie w jednym kierunku.

Wyłożyłem ten film na Youtube, które jest własnością amerykańskiego giganta mass-mediów Google, i natychmiast doświadczyłem specyficznych znaków  naszych czasów. Otrzymałem w mailu wiadomość z Google następującej treści:

Hi Arkadiusz Jadczyk,
A copyright owner using Content ID has claimed some material in your video.
As a result, your video has been blocked in some countries. This means that your video is still up on YouTube, but people in some countries may not be able to watch it.
This is not a copyright strike. This claim does not affect your account status.
Video title: Questions and Answers with Ark 2
Copyrighted content: Time in a Bottle
Claimed by: WMG
Blocked countries: Cuba, Iran, North Korea, Syria

Cztery kraje, które prowadzą politykę całkowicie niezależną od USA, Cuba, Iran, North Korea, Syria,  zostały za swą niezależność "ukarane" i mieszkańcy tych krajów nie będą mogli oglądać mojego filmu. Prawdziwe znaki czasu!

Wracając do Zbigniewa Oziewicza: moja ostatnia seria notek wywodzi się poniekąd z publikacji Zbigniewa Oziewicza z roku 1986 p.t. „From Grassmann to Clifford”. Ciekawe są podziękowania na końcu tego artykułu. Tłumaczę na język polski:

Jestem wdzięczny profesorowi Jerzemu Rzewuskiemu, który zorganizował stymulujące czwartkowe seminaria na Uniwersytecie Wrocławskim, które to seminaria wpłynęły tak bardzo stymulująco na moje badania. Pisząc ten artykuł wspominam profesora Garreta Sobczyka, który przed laty wciągnął mnie w algebry Clifforda. Mieliśmy z nim, oraz z Jerzym Kocikiem, niekończące się dyskusje w Pęgowie pod Wrocławiem. Chciałbym też podziękować wielu przyjaciołom i kolegom, w szczególności profesorowi Leopoldowi Halpernowi i wszystkim uczestnikom czwartkowego seminarium za ich zainteresowanie moją pracą.

Jerzy Kocik pojawił się w moich notkach gdy pisałem o pitagorejskich czwórkach – patrz notka „Pitagorejskie  UFO”

Nawiązałem wtedy z Kocikiem korespondencję, nawet kroiła się jakaś wspólna publikacja, jednak jakoś sprawy do końca nie doprowadziliśmy. A wtedy, w roku 1986, gdy Oziewicz, Sobczyk i Kocik pływali już dobrze na falach algebr Clifforda, ja wciąż jeszcze pływałem w geometrii – wtedy to pojawiały się zręby opublikowanej dwa lata później monografii, we współautorstwie z Robertem Coquereaux z CNRS w Marsyllii, „Riemannian Geometry, Fibre Bundles, Kaluza-Klein Theories And All That (World Scientific Lecture Notes in Physics) ”  

Dziś, po latach, kończę dzieło rozpoczęte przez Zbigniewa Oziewicza 34 lata temu. Jemu to zadedykuję publikację nad którą pracuję.  I ta notka, cały ten cykl notek,  jest tej mojej pracy częściowym świadectwem.

Wracam do Lematu 2 – z Algebry Bourbakiego Rozdz. 9. Rosyjskie wydanie „Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы” ukazało się w roku 1966 i jestem przekonany o tym, że Oziewicz je miał i je znał. Tam był cały rozdział o algebrach Clifforda. Nie rozumiem czemu Oziewicz, tak bardzo zainteresowany algebrami Clifforda, wtedy tego materiału nie zacytował?  I tak się jakoś stało, że, o ile wiem, praktycznie nikt z fizyków zainteresowanych zastosowaniami algebr Clifforda, materiału zawartego w podręczniku Bourbakiego nie zna. A ja go odkrywam dla siebie.

Wracam do Lematu 2 z podręcznika Bourbakiego:


Pozostaje nam do udowodnienia własność (9) z tego lematu. Przypomnijmy definicje występujących w tej własności operatorów liniowych działających na algebrze tensorowej T(V). Obie definicje są rekurencyjne: zakładając, że znamy działanie tych operatorów na T^k(V) definiujemy je na T^k+1(V). A najpierw definiujemy je na T⁰(V). I podobnie nasz dowód własności (9) będzie rekurencyjny. Najpierw definicje:

(1) λ^F(1) = 1
(2)  λ^F e_x =(e_x+i_x^F)λ_F,    dla każdego x z  V

i_f 1 = 0,            (*)
i_f e_x + e_x i_f = f(x) I dla każdego x z V,    (**)

Najpierw sprawdzamy, że równość

i_f λ_F = λ_F i_f zachodzi na T⁰(V) = K i na T¹(V) = V.

Dla k z T⁰(V) mamy i_f(k) = 0 oraz λ_F(k) = k, zatem mamy żadaną równość. Dla x z V=T¹(V) mamy i_f(x) = f(x), stąd λ_F (i_f(x)) =  f(x). Z drugiej strony λ_F (x) = x, skąd i_f(λ_F(x))=i_f(x)=f(x). Dalej dowód jest indukcyjny.  Przypuśćmy teraz, że równość (9) zachodzi na wszystkich T^p(V) dla p < n. Pokażemy, że zachodzi wtedy także dla Tⁿ(V). Poniżej przytaczam pięć linijek dowodu z Bourbakiego i omawiam przejścia. Tutaj x jest z V, zaś u jest z T^n-1, zatem zakładamy, że żądana równość zachodzi na u z T^n-1(V) i pokazujemy, że zachodzi wtedy dla x⊗u z Tⁿ(V). A dalej rozszerzamy na całe Tⁿ(V) przez liniowość.

Przejście w pierwszej linijce wynika z definicji działania i_f. Przejście do drugiej linijki wynika z formuły (2) w definicji λ_F, Przejście z drugiej liniki do trzeciej wynika z założenia indukcyjne, że diałania λ_F  oraz i_f są przemienne na T_n-1(V). W przejściu z trzeciej linijki do czwartej korzystamy z relacji antykomutacji (**) i_f z e_x:

i_f e_x + e_x i_f = f(x)

Przejście z czwartej do piątej to uproszczenie, pogrupowanie czałonów, i ponowne skorzystanie z definicji λ_F.

I tak Lemat 2 mamy dowiedziony. Pozostaje bodaj najważniejszy Lemat 3. Ale to już w kolejnej notce.

A na koniec przypomnę jeszcze mój komentarz z notki"Nawrócenie Jacobiego"

A o Zbyszku Oziewiczu w "Wrocławskie Środowisko Akademickie : twórcy i ich uczniowie 1945-2005", "Najważniejsze osiągnięcia naukowe Instytutu Fizyki Teoretycznej" znajdujemy

"...Inna grupa – Zbigniew Oziewicz, Andrzej Pikulski i Stanisław Ciechanowicz – pracowała nad teorią oddziaływań słabych, otrzymując ciekawe wyniki na temat wychwytu mionów przez jądra atomowe oraz łamania symetrii CP. Zbigniew Oziewicz, a następnie Andrzej Borowiec, Rafał Abłamowicz i Jerzy Kocik szczególnie zaangażowali się w program twistorowy i techniki spinorowe z wykorzystaniem algebr Clifforda.
...
Na działalności instytutu odbiły się wydarzenia stanu wojennego. Na dłuższy czas, przekraczający pół roku, do ośrodków internowania trafiło kilku pracowników naukowych (Zbigniew Oziewicz, Jerzy Przystawa, Jan Sobczyk, Ludwik Turko). "

I wreszcie tutaj mamy świeże: Obituary: Zbigniew Oziewicz, Mexico na stronach witryny Geometric Algebra.