Lambda F: Pytia, Sokrates i Bourbaki

Tak sobie czytam “The Music of the Republic” ('Muzyka Republiki) Evy Brann , Eseje o konwersacjach Sokratesa i pismach Platona. Sokrates niby szczycił się tym, iż wiedział, że nic nie wie, jednak coś przecież wiedział, i tego co wiedział nauczał. Wiedział na przykład, że Pytia słyszy głos bogów, i że bogowie nie kłamią. Toteż gdy Pytia z wyroczni delfickiej stwierdziła, iż to Sokrates jest najmądrzejszym wśród filozofów, przyjął to z należytą powagą i zrozumieniem. Ciekawie wypowiadał się też o matematyce.. Matematyka, jak nauczał Sokrates (i najwyraźniej coś o matematyce musiał wiedzieć, skoro o niej nauczał) winna być studiowana niezależnie od zastosowań, jako czysty „logos” - jako prawdy logiczne. Oto odpowiedni cytat z książki „Muzyka Republiki”

Socrates demands that in the serious study of mathematics, that paradigm  of  every  learning  matter  (máthema),  not  only  all  practical applications,  but  even  every  suggestion  of  an  admixture  of  sense experience should be set aside. Only those true motions and numbers and  figures  which  are  grasped  by  nothing  but  the  lógos  and  the diánoia should be studied (529 b).



Socrates on Mathematics and Being, Eva Brann


Bardzo mi się to spodobało. Zapisałem się więc na lekcje muzyki (gra na pianinie). Jutro poznam mojego nauczyciela i będę miał pierwszą lekcję! (Tu można posłuchać muzyki przez mojego nauczyciela komponowaną – brzmi całkiem matematycznie) No i, będąc posłusznym naukom Sokratesa, zabieram się w tej chwili za logos i za dianoię.

Z Wikipedii:
Platon (ur. 427, zm. 347 p.n.e.) był twórcą klasycznej teorii wiedzy jako prawdziwego, dobrze uzasadnionego sądu (Teajtet). Rozróżnił

wiedzę (episteme), której przedmiotem są idee i stosunki między nimi, będącą ogólną i pewną oraz dzielącą się na:

        intuicyjną (noesis) prowadzącą do poznania Dobra i
        dyskursywną (dianoia), wiedzę na temat prawd matematyki, oraz

mniemanie (doksa) pochodzące od zmysłów i szczegółowe, które może być tylko prawdopodobne, ale nie jest ignorancją (bezprzedmiotową opinią) (Państwo).

Zabierzemy się zatem za dowód Lematów z poprzedniej notki. Pomagać nam w tym będą „bogowie” Sokratesa, którzy nigdy nie kłamią. Ciekawe, że Socrates doszedł logicznie do tego, że istnieje jakaś „wyższa inteligencja”, choć jeszcze raczej nic nie wiedział a „subtelnym dopasowaniu” i „antropicznej zasadzie”, nie zastanawiał się nad tym "skąd się wzięły prawa fizyki?".

Oto pierwszy lemat z poprzedniej  notki Bourbaki a Kryptografia

Lemat 2. Niech F: VxV → K będzie formą biliniową na przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Istnieje wtedy jedno i tylko jedno odwzorowanie liniowe λ_F algebry tensorowej T(V) w siebie λF: T(V)  --> T(V) takie, że

(1) λ_F(1) = 1
(2) λ_F e_x =(e_x+i_x^F)λ_F,    x należy do V

A oto dowód – Taki sam jak w Bourbakim, tyle, że rozwinięty w szczegółach. Najpierw pokażemy, że jeśli takowe λ_F istnieje, to jest jedyne. Innymi słowy, warunki (1) i (2), o ile nie są sprzeczne, o ile je spełniające λ_F istnieje, to jest określone przez te warunki jednoznaczne. Warunek (1) określa λ_F  na jedynce 1 ciała K. Ponieważ λ_F ma być liniowe, stąd natychmiast

λ_F(k) = k

dla każdego k z ciała K. Tym samym jest określone jednoznacznie na  K = T⁰(V). Warunek (2) możemy zapisać jako:

λ_F(x⊗v) = x⊗λ_F(v)  + i_x^F(λ_F(v) )

Jeśli zatem jest λ_F określona na T^p(V),  jeśli znamy wszystkie λ_F(u), dla u z T^p(V), to znamy je na wszystkich elementach jednorodnych  x⊗v z T^p+1(V), a stąd, przez liniowość, na T^p+1(V).  Mamy więc dowód jedyności, metodą indukcji (rekurencyjnie).

Taraz dowód istnienia. Też podobną metodą. Wiemy już, że λ_F istnieje na T⁰(V). Pokażemy teraz, że jeśli istnieje na T^p(V), to istnieje na T^p+1(V). Znów dowód oparty będzie na warunku (2). Załóżmy, że λ_F(v)  istnieje (i jest liniowe) dla każdego v z T^p(V). Odwzorowanie

(x,v) → x⊗λ_F(v)  + i_x^F(λ_F(v) )

jest liniowe w x (należacym do V)  oraz w v (należącym do T^p(v)). Zatem, z uniwersalnej własności iloczynu tensorowego, rozszerza się do jedynego odwzorowania z V⊗T^p(V)=T^p+1(V) w T(V). Czyli do λ_F(v) już na T^p+1(V). Koniec zatem indukcyjnego dowodu. Mamy z głowy Lemat 2.

Uwaga: nie całkiem z głowy, bowiem Lemat 2 ma jeszcze drugą część, o której w tej notce zapomniałem. Wrócę do tego w następnej notce.

Dalej jest Lemat 3. Jak nam to Sokrates zaleca: sama logika i dianoia.

Lemat 3. Jeśli F i G są dwiema formami biliniowymi VxV → K, wtedy

(3) λ_F λ_G = λ_G λ_F = λ_F+G.

Dla każdej formy biliniowej F odwzorowanieλ_F  jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem przestrzeni liniowej T(V) na siebie.

Metoda dowodu będzie korzystać z uprzednio dowiedzionej jedyności odwzorowania liniowego spełniającego (1) i (2). Mianowicie pokażemy, że spełnia λ_F λ_G  warunki (1) i (2) dla F zastąpionego przez F+G, stąd z jedyności, musi być równe λ_F+G.
Ale to już w kolejnej notce. A tymczasem odpocznijmy zaglądając do Episode 4: Socrates and Wisdom:

According to Socrates the Natural Philosophers were seekers of the truth. However he realized that this was not enough. The Natural philosophers gave us truth without information, knowledge without indicating how to become wise and no indication for how to overcome self-deception or how to become a good person.

Według Sokratesa poszukiwacze prawdy byli filozofami przyrody. Jednak zdał sobie sprawę z tego, że to nie wystarczy. Filozofowie przyrody przekazali nam prawdę bez informacji, wiedzę bez wskazania, jak stać się mądrym i bez wskazania, jak przezwyciężyć samooszukiwanie się lub jak stać się dobrym człowiekiem.

P.S. Przypisujemy Sokratesowi powiedzenie: Piękno jest jedyną rzeczą boską i widzialną jednocześnie. Jednak nie wszyscy to piękno w Przyrodzie widzą i nie wszyscy wyciagają z istnienia tego piękna logiczne wnioski - jak to robił Sokrates. Dla zainteresowanych udostępniam nagrany wczoraj drugi wywiad ze mną. Tematem wywiadu-rozmowy jest Czas: What is Time? Rozmiar pliku mp4: 411 MB. Do ściągnięcia tutaj. Poruszam w tym wywiadzie, pod koniec,  między innymi sprawę nieuchronnych wniosków z istnienia piękna i porządku w przyrodzie.