Matematyka w krainie elfów

Grudzień to jakiś dziwny miesiąc. Miesiąc pożegnań. Żegna się z nami, mam nadzieję, że tylko chwilowo, zasłużony fizyk i nauczyciel katolickiej moralności bloger Eine (patrz notka Osobiste :Żegnam wszystkich tych,którzy) , pożegnał się właśnie z nami na dobre prof. Zbigniew Oziewicz   (patrz notka Zajtenberga: Sekta Oziewicza). A mój aktualny cykl notek swoje powstanie zawdzięcza, w dużej mierze, właśnie Zbigniewowi Oziewiczowi, który od dawien dawna interesował się algebrami Clifforda, gdy ja jeszcze nawet nie wiedziałem co to za pies ten cały Clifford.

Notka Zajtenberga rozpoczyna się tak:

Wczoraj poinformowano, że zmarł Zbigniew Oziewicz. Większej liczbie ludzi, może być znany ze swojej działalności opozycyjnej w Solidarności Walczącej, ale my, studenci fizyki roku 1986/7 poznaliśmy go z zupełnie innej strony.

Zaś mój artykuł, którego jeszcze nie napisane fragmenty tutaj przedstawiam, cytuje, jako podstawowy punkt odniesienia,  publikację Zbigniewa Oziewicza „From Grassmann to Clifford” właśnie z roku 1986. Idzie tam o to jak zdefiniować mnożenie w algebrze Clifforda gdy forma kwadratowa nie jest symetryczna. Oziewicz bodaj pierwszy wśród fizyków zwrócił w swojej pracy na ten problem uwagę. Ja niedawno odkryłem, że wcześniej zwrócił na to uwagę Bourbaki, w swojej „Algebrze”, i postawiłem sobie za cel rozpracowanie tej idei w detalach. Tak natrafiłem na problem funkcji eksponencjalnej od operatora liniowego w przestrzeni wektorowej o skończonej charakterystyce. I do tego w tym cyklu notek powoli zmierzam. Być może  zmierzam tak w krainę elfów, w krainę ze snów i marzeń. Jednak:

„... w krainie elfów panuje miłość i dobroć, nikt nie pozostaje bez pomocy. „

Z Wikipedii: Elf – stworzenie rodem z mitologii germańskiej, wykorzystywane w licznych książkach, filmach i grach w konwencji fantasy. Z początku elfy były pomniejszymi bożkami natury i płodności, później były przedstawiane jako chochliki lub duszki leśne bądź wodne. W folklorze przedstawiane są jako małe, wyglądające młodzieńczo ludziki wielkiej piękności, żyjące w lasach, źródłach, studniach, a nawet pod ziemią. Wierzono, że są długowieczne, jeśli nie nieśmiertelne i posiadają różnorakie magiczne moce.

Elfy tańczące na łące, Nils Blommér, 1850

Więc nawet jeśli to co robię nie jest ani fizyką, ani  matematyką, lecz jedynie poezją, to jednak posługuję się logiką. A „Logika jest najważniejszą zdobyczą ludzkiego ducha.” 34:51)

A „Matematyka jest jedyną poezją” 35:26

Każdy licealista i rozwiązywacz zagadek powinien obejrzeć ten film.

Przechodzę zatem do elfów. Tzn. do ifów. Ify wprowadziliśmy w poprzedniej notce – jako anty-różniczkowania algebry tensorowej. Algebra tensorowa T przestrzeni wektorowej V nad ciałem K to suma prosta tensorów różnej walencji (tak to się czasem nazywa)

T = K ⊕ V ⊕ V⊗V ⊕ V ⊗V⊗V ⊕ …

Tensory walencji 0 to skalary, elementy ciała K. Tensory walencji 1 to wektory, elementy przestrzeni V. Tensory walencji 2 (tensory dwukrotnie kontrawariantne), to elementy przestrzeni  V⊗V. Tensory z  V⊗V postaci x⊗y to tzw. tensory proste (lub „produktowe”). Jednak nie należy zapominać, że  V⊗V jest przestrzenią liniową, zatem należą do niej również tensory  x⊗y+ u⊗v,
itd. itp. Mamy też przestrzeń dualną V*, przestrzeń „form”, czyli liniowych funkcjonałów na V o wartościach w K. W poprzedniej notce z każdą formą f związaliśmy liniowy operator i_f działający w T, zdefiniowany dwoma warunkami:

i_f 1 = 0,            (*)
i_f e_x + e_x i_f = f(x) I dla każdego x z V,    (**)

gdzie e_x  jest operatorem mnożenia tensorowego z lewej przez x:

e_x u = x⊗u

dla każdych x z V, oraz u z T. Wyprowadziliśmy stąd jak działa i_f na dowolne tensory jednorodne proste:

i_f(x₁⊗...⊗x_k) = ∑ _i=1 ^k (-1)ⁱ⁺¹ f(x_i)x₁⊗...⊗[x_i]⊗...⊗x_k

gdzie x_i w nawiasie kwadratowym, [x_i], oznacza, że ten człon w iloczynie opuszczamy. Z formuły tej jasno widać, że odwzorowanie f → i_f, z V* w operatory liniowe na T,  jest liniowe.

Reguła ta wygląda dość skomplikowanie. Rozpiszmy więc a wszystko stanie się jasne

i_f(x) = f(x)
i_f^f(x⊗y) = f(x)y – f(y)x
i_f(x⊗y⊗z) = f(x)y⊗z – f(y)x⊗z +f(z)x⊗y
i_f(x⊗y⊗z⊗u) = f(x)y⊗z⊗u – f(y)x⊗z⊗u +f(z)x⊗y⊗u-f(u) x⊗y⊗z
itd.

Zatem nasze elfy, tzn. nasze ify działają bardzo prosto, wynik ich działania jest łatwy, zdawałoby się do przewidzenia.... A jednak.... A jednak z elfami trzeba być ostrożnym. Elfy są bowiem, przepraszam za wyrażenie,  nilpotentne! Z pierwszej i drugiej równości możemy obliczyć działanie (i_f)² na  x⊗y:

(i_f)² (x⊗y) = i_f(f(x)y – f(y)x)= f(x)f(y)-f(y)f(x)=0.

Tak samo, tylko więcej rachunków, wyjdzie obliczając  (i_f)² w działaniu na  x⊗y⊗z i na  x⊗y⊗z⊗u. Wyrazy się poupraszczają i wynikiem będzie zero. Chcielibyśmy teraz zatem udowodnić, że zawsze wyjdzie zero. Mamy hipotezę, ale jak znaleźć dowód tej hipotezy?

W matematyce niby mamy do czynienia z rozumowaniem dedukcyjnym. Twierdzenia są niczym innym aniżeli logicznymi wnioskami z aksjomatów i z definicji. Prosta sprawa niby: logiczny wniosek, cóż trudnego. A jednak.... Mamy twierdzenie i pojawia się pytanie: jak znaleźć jego dowód? Którą drogą pójść. Gdzie zacząć, w którą stronę, na którym etapie i jak skręcić? Jak w labiryncie. By znaleźć dowód jakiegoś twierdenia, choć niby to tylko „logiczny wniosek”, potrzebna jest wiedza, intuicja, doświadczenie, wytrwałość, a także „łut szczęścia”.  Oczywiście zazwyczaj dowody widać jak na dłoni. Jednak bywają także twierdzenia (np. Twierdzenie Fermata) i hipotezy (np. hipoteza Riemanna) wyjątkowo oporne.

W naszym przypadku posłużymy się znaną algebraiczną sztuczką. Pomnóżmy równanie (**) z lewej i z prawej przez i_f i wypiszmy pod sobą. Przy tym i_f  f(x)= f(x)i_f, bowiem f(x) jest liczbą.

i_f i_f e_x + i_f e_x i_f = f(x) i_f
i_f e_x i_f + e_x i_f i_f = f(x) i_f

Odejmując stronami otrzymujemy

(i_f)² e_x = e_x (i_f)²

Skoro (i_f)² jest przemienne z e_x, to jest przemienne z e_x e_y i z dowolnym

e_x1....e_xn

Ale  e_x1...e_xn 1 =x1⊗....⊗xn, zaś i_f(1)=0

Stąd  (i_f)² (x1⊗....⊗xn)=0 dla dowolnych x1,...,xn z V. Stąd (i_f)²=0. Czyli elfy – ify są nilponentami! Ich kwadraty (a zatem i wszelkie wyższe potęgi) są zerami. Stąd już, logicznie,  wynika, że dla f,g z V*, i_f i i_g antykomutują

i_f i_g + i_g i_f = 0.

Bowiem, z liniowości f → i_f, mamy  i_f+_g= i_f +i_g, a ponieważ (i_f+g)²=0, to

i_f²+i_f i_g + i_g i_f +i_g² =0

a stąd

i_f i_g + i_g i_f =0.

I tak oswoiliśmy się nieco z elfami. W kolejnej notce spotkamy się z małą wariacją – przy pomocy formy biliniowej F stworzymy elfa z wektora x, nie będziemy się musieli wybierać do krainy form V*. Forma F nam tę podróż zastąpi. Ale ten magiczny taniec elfów nastąpi już  w kolejnej odsłonie – w sobotę.