Obiecałem, zainspirowany przez dyskusję pod poprzednią notką, że przedstawię, maksymalnie prosto problem z pogranicza algebry i teorii liczb, który od miesięcy nie daje mi spać. I że przedstawię ten mój problem w możliwie prosty sposób, tak by nawet nieleniący się licealista (choć dziś trudno takiego znaleźć), jak i jego Pani profesor, mogli mój problem zrozumieć. I tak też zrobię.
…. Tak pisałem jeszcze 4-go grudnia. Potem, 5-go grudnia popadłem w czarną rozpacz. Doszedłem do wniosku, że się pośliznąłem.
Gdy upadnę niezgrabnie,
wtedy czuję dokładnie
jakie ostre są moje hokeje.
Po czym 6-go grudnia, po żmudnych rachunkach, po dwóch nieprzespanych nocach, znów pojawiła się we mnie nadzieja i zmieniłem swój zamiar. Początek tekstu będzie jak go pisałem 4-go lecz bardzo szybko dam spokój z uproszczeniami „dla licealisty”. Będę musiał potraktować mój problem ogólniej niż zamierzałem, zatem i bardziej abstrakcyjnie. Zatem bardziej dla choć trochę zaawansowanego w algebrze studenta aniżeli dla zajętego zbieraniem piątek i szóstek licealisty, czy zajętej uczeniem i wychowywaniem licealistów Pani profesor. Cóż – tak wypadło. Nie moja to wina.
Oto początek z 4-go grudnia:
Polem bitwy jest algebra tensorowa T=T(V) nad przestrzenią liniowa V. Przestrzeń liniowa V jest nad ciałem K. To ciało K, w fizyce zarówno klasycznej jak i kwantowej, to zwykle ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jednak mój problem do rozwiązania zaczyna się tam gdy ciało K jest ciałem o skończonej charakterystyce p. Na przykład liczby całkowite modulo p, gdzie p jest liczbą pierwszą są takim ciałem. A u nas, by rzecz możliwie uprościć, wybierzemy ciało liczb całkowitych modulo 2. Ciało nasze będzie miało więc dwa elementy, 0 i 1, K= Z2 ={0,1}, przy tym dodawanie jest modulo 2, czyli umawiamy się, że 1+1=0.
Algebra tensorowa, w ogólnym przypadku, jest lekko trudna ( można zajrzeć do angielskiej Wikipedii tutaj ). Jednak znacznie się upraszcza gdy przestrzeń V jest jednowymiarowa. Gdy V jest jednowymiarowa, można V utożsamić z ciałem K, zatem bierzemy V=K. Wtedy K⊗K = K i algebrę tensorową możemy utożsamić z sumą prostą
T=T(V) = K ⊕ K ⊕ K ⊕ ….
Elementami T są wtedy ciągi (a0,a1,a2, …) elementów z K, przy tym interesują nas ciągi które od pewnego miejsca mają same zera (tak wynika z definicji algebry tensorowej). W przypadku gdy K=Z2, będą to ciągi zero-jedynkowe, na przykład (1,0,0,1,1,0,0,0,....) . I to będzie nasza T. Możemy przy tym utożsamić naszą T z algebrą wielomianów o współczynnikach z ciała K (tak wynika z definicji algebry tensorowej, w którą to definicję nie mamy potrzeby się wgłębiać) w jednej zmiennej nieokreślonej x. Tak więc ciąg (a0,a1,a2, …) utożsamiamy z wielomianem
a(x) = a0+a1 x+a2 x^2+....
Bardzo proste, prawda? Wielomian to każdy licealista zna, potrafi wielomiany dodawać i nawet mnożyć.
Koniec początku z 4-go grudnia.
Nie chcę zbyt wcześnie zejść do Z2. I nie chcę zejść do szczególnego przypadku gdy V jest jednowymiarowe. To znaczy chciałbym, ale raczej nie mogę. Wydaje mi się, by zademonstrować o co mi idzie, że V musi być co najmniej 4-wymiarowe. W dalszym ciągu wytłumaczę dlaczego (choć sam nie całkiem to rozumiem). Zatem najpierw przedstawię przypadek ogólny, a do szczególnego przejdę na końcu.
Zatem mamy algebrę tensorową T(V), gdzie V przestrzeń liniowa nad dowolnym ciałem K. Tichy będzie wiedział o czym piszę. Bjab zapewne także. Lecz może nie tylko oni? Taką mam cichą nadzieję.
Uwaga: Algebry tensorowej uczyć się trzeba na chłodno. Wszelkie stany emocjonalne, zakochania itp. naukę algebry tensorowej kompletnie uniemożliwiają, nawet przy skądinąd dobrych chęciach.
Bierzemy więc ogólna algebrę tensorową
T = K ⊕ V ⊕ V⊗V ⊕ V ⊗V⊗V ⊕ …
T jest sumą prostą kolejnych potęg tensorowych przestrzeni V:
T = T0 ⊕ T1 ⊕ T2 ⊕ T3 ⊕ …
gdzie T0=K, T1=V, T2 = V⊗V, T3 = V ⊗V⊗V, itd.
Fizyk, który przeszedł przez kurs mechaniki kwantowej wielu ciał lub otarł się o „drugie kwantowanie” powie: mamy przestrzeń Focka dla cząstek rozróżnialnych (choć prawdopodobnie na studiach od razu przechodzi się do cząstek nierozróżnialnych, bozonów lub fermionów). Tk to przestrzeń k-cząstkowa.
Mnożenie w algebrze T jest proste, np.:
(x⊗y)(z⊗u⊗v)=x⊗y⊗z⊗u⊗v
Algebra T ma zatem Z-gradację: Tk Tl ⊂ Tk+l. Jednak dla nas ważniejsza będzie Z2 gradacja. Będziemy inaczej traktować Tk z k parzystym (k=0,2,4,6,...) i z k nieparzystym (k=1,3,...). Czemu tak? Zobaczymy to za chwilę gdy zdefiniujemy operatory anihilacji przypominające swą konstrukcją operatory anihilacji dla fermionów. Najpierw jednak zdefiniujmy operatory kreacji.
W fizyce operatory kreacji i anihilacji oznacza się zwykle literami a* i a. My bawimy się abstrakcyjną matematyką, więc wezmę oznaczenia od Bourbakistów. Operator kreacji cząstki w stanie x oznaczę symbolem ex. Niech x będzie wektorem w V, wtedy ex zdefiniowane jest jako mnożenie tensorowe z lewej strony przez x. Dla dowolnego u z T definiujemy
ex u = x⊗u
W szcególności
ex1= x.
Tutaj 1 jest elementem z K=T0. Fizyk może powiedzieć, że jest to stan z zerową liczbą cząstek, czyli „stan próżni”.
Działając operatorem ex na dowolny wektor z Tk otrzymujemy wektor z Tk+1 – zwiększamy liczbę cząstek o 1.
Wprowadzimy teraz opeartory anihilacji. W fizyce V jest przestrzenią Hilberta, zatem wyposażoną w iloczyn skalarny, który się potem przydaje do wyliczenia prawdopodobieństw. Operatory anihilacji są wtedy „sprzężone” do operatorów kreacji (względem tego iloczynu skalarnego). U nas iloczynu skalarnego w V póki co nie ma, zatem i operatory anihilacji zdefiniujemy chytrze, „po matematycznemu”. Zauważmy najpierw, że z definicji iloczynu tensorowego każdy wektor z Tk jest kombinacją liniową (lub po prostu: sumą) wektorów jednorodnych, tzn. wektorów postaci x1⊗...⊗xk. Jeśli więc chcemy zdefiniować operator liniowy działający na wektory z Tk, wystarczy zdefiniować go na elementach jednorodnych, a dalej rozszerzyć przez liniowość.
Niech f będzie elementem przestrzeni dualnej V*. Wtedy operator anihilacji if definiujemy tak jak to jest u Bourbakiego. Oto odpowiedni fragment z rosyjskiego wydania jednego z tomów algebry Bourbakiego (Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы, str. 475):
Po polsku będzie to tak:
Istnieje jedyny liniowy operator if w T spełniający następujące warunki:
if 1 = 0,
if ex + ex if = f(x) I dla każdego x z V.
Zauważmy, że w formule powyżej mamy antykomutator, więc jakby pachnie fermionami. Można teraz dowodzić tego twierdzenia, jak to jest u Bourbakiego. Lepiej jednak mi będzie podać jawną postać operatora if, którą nietrudno wyliczyć wiedząc, że takowy istnieje i jest jedyny. Wystarczy podać jak if działa na elementy jednorodne. Ale to już zrobimy w następnej notce. Podniosłem się z upadku i jadę dalej.
Komentarze
Pokaż komentarze (11)