Wektory jako obiekty geometryczne

W poprzedniej notce obiecałem:

„Jest jeszcze trzecia definicja wektora stycznego, ale o tym już w następnej notce.”

I teraz mamy tę „następną notkę, i z mojej obietnicy muszę się wywiązać czy kto chce, czy nie chce!

"A vector is anything that can pass on an infection to another organism," says Aiello. So a mosquito is definitely a vector. Its root is a Latin word that means "to carry."But what about humans: Can we humans be vectors?Technically, sure, says Aiello. But Monto says he probably wouldn't use the word to refer to humans. "To me vector is usually an arthropod [insects and other animals with exoskeletons]," Monto says. "Like a mosquito or a tick."

Jednak najpierw wprowadzenie – przypomnienie. Zdefiniowaliśmy wektor styczny w punkcie p jako różniczkowanie algebry F funkcji gładkich na M (M jest utożsamiane przez każdy dopuszczalny układ współrzędnych ze zbiorem otwartym w Rⁿ), gdzie „różniczkowanie” jest liniowym funkcjonałem na F, spełniającym regułę Leibnitza różniczkowania iloczynu funkcji:

X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g) , (*)

Oznaczyliśmy przez T_p(M) przestrzeń liniową wektorów stycznych do M w punkcie p.Pokazaliśmy, że jeśli (x¹,...,xⁿ) jest układem współrzędnych w utoczeniu punktu p, to każdy wektor z T_p(M) jest postaci

X(f) = Xⁱ (∂f /∂ xⁱ)(x0)

gdzie Xⁱ = X(xⁱ) są liczbami – nazywamy je składowymi wektora X w układzie wpółrzędnych xⁱ., zaś x0 współrzędnymi punktu p.

Jak te składowe wektora zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych?

Przypuśćmy, że mamy też inny układ współrzędnych x^i', gdzie współrzędne x^i' są gładkimi funkcjami wpsółrzędnych xⁱ:

xi^'=x^i'(x¹,...,xⁿ), i'=1,2,....n

Wektor jest ten sam, tylko baza wektorów stycznych jest teraz inna, bazą są teraz pochodne cząstkowe po x^i'. Korzystając z definicji mamy

X(f) = X^i' (∂f /∂ x^i')(x'0),

gdzie x'0 są wpółrzędnymi punktu p w kładzie primowanym.

Z drugiej strony, z reguły łąńcuchowej różniczkowania funkcji złożonej

X(f) = Xⁱ (∂f /∂ xⁱ)(x0) =Xⁱ(∂f /∂ x^i')(∂x^i' /∂ xⁱ)(x0) = (∂x^i' /∂ xⁱ)(x0) Xⁱ(∂f /∂ x^i')

Ponieważ pochodne cząstkowe ∂/∂ x^i' tworzą bazę, przyrównujemy współczynniki przy (∂f /∂ x^i') i otrzymujemy formułę na przekształcenie składowych wektora przy zmianie układu współrzędnych

X^i' = (∂x^i' /∂ xⁱ)(x0) Xⁱ                                      (**)

Macierz (∂x^i' /∂ xⁱ)(x0) nazywa się czasem macierzą Jacobiego (lub Jacobianem) zmiany współrzędnych.

I teraz mamy trzecią definicję wektora stycznego: wektor styczny do M w punkcie p to „obiekt geometryczny” mający w każdym układzie współrzędnych xi składowe Xⁱ, przy czym przy zmianie układu współrzędnych składowe te transformują się zgodnie z regułą (**)

Tak się mówi: "obiekt geometryczny". I tak się definiuje tensory wszelkiego rodzaju (na przykład tensor pola elektromagnetycznego), metrykę Riemanna (na przykład potencjały grawitacyjne), nawet koneksję (siły grawitacyjne czy elektromagntyczne). Definiujemy "obiekty geometryczne" podając regułę przekształcenia ich "składowych" przy zmianie układu współrzędnych (czasami: przy zmianie bazy w przestrzeni stycznej).Wyjątkiem są tu "spinory". Te niby są "obiektami geometrycznymi", ale nie dają się odnieść do "układu współrzędnych". Dają się odnieść jedynie do "ortonormalnej bazy w przestrzeni stytcznej". Do innych baz nie dają się odnieść. To już trochę wyższa szkoła jazdy.