W poprzedniej notce obiecałem:
I teraz mamy tę „następną notkę, i z mojej obietnicy muszę się wywiązać czy kto chce, czy nie chce!
Jednak najpierw wprowadzenie – przypomnienie. Zdefiniowaliśmy wektor styczny w punkcie p jako różniczkowanie algebry F funkcji gładkich na M (M jest utożsamiane przez każdy dopuszczalny układ współrzędnych ze zbiorem otwartym w Rn), gdzie „różniczkowanie” jest liniowym funkcjonałem na F, spełniającym regułę Leibnitza różniczkowania iloczynu funkcji:
X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g) , (*)
Oznaczyliśmy przez Tp(M) przestrzeń liniową wektorów stycznych do M w punkcie p.Pokazaliśmy, że jeśli (x1,...,xn) jest układem współrzędnych w utoczeniu punktu p, to każdy wektor z Tp(M) jest postaci
gdzie Xi = X(xi) są liczbami – nazywamy je składowymi wektora X w układzie wpółrzędnych xi., zaś x0 współrzędnymi punktu p.
Jak te składowe wektora zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych?
Przypuśćmy, że mamy też inny układ współrzędnych xi', gdzie współrzędne xi' są gładkimi funkcjami wpsółrzędnych xi:
Wektor jest ten sam, tylko baza wektorów stycznych jest teraz inna, bazą są teraz pochodne cząstkowe po xi'. Korzystając z definicji mamy
X(f) = Xi' (∂f /∂ xi')(x'0),
gdzie x'0 są wpółrzędnymi punktu p w kładzie primowanym.
X(f) = Xi (∂f /∂ xi)(x0) =Xi(∂f /∂ xi')(∂xi' /∂ xi)(x0) = (∂xi' /∂ xi)(x0) Xi(∂f /∂ xi')
Ponieważ pochodne cząstkowe ∂/∂ xi' tworzą bazę, przyrównujemy współczynniki przy (∂f /∂ xi') i otrzymujemy formułę na przekształcenie składowych wektora przy zmianie układu współrzędnych
Xi' = (∂xi' /∂ xi)(x0) Xi (**)
I teraz mamy trzecią definicję wektora stycznego: wektor styczny do M w punkcie p to „obiekt geometryczny” mający w każdym układzie współrzędnych xi składowe Xi, przy czym przy zmianie układu współrzędnych składowe te transformują się zgodnie z regułą (**)
Tak się mówi: "obiekt geometryczny". I tak się definiuje tensory wszelkiego rodzaju (na przykład tensor pola elektromagnetycznego), metrykę Riemanna (na przykład potencjały grawitacyjne), nawet koneksję (siły grawitacyjne czy elektromagntyczne). Definiujemy "obiekty geometryczne" podając regułę przekształcenia ich "składowych" przy zmianie układu współrzędnych (czasami: przy zmianie bazy w przestrzeni stycznej).Wyjątkiem są tu "spinory". Te niby są "obiektami geometrycznymi", ale nie dają się odnieść do "układu współrzędnych". Dają się odnieść jedynie do "ortonormalnej bazy w przestrzeni stytcznej". Do innych baz nie dają się odnieść. To już trochę wyższa szkoła jazdy.
Komentarze
Pokaż komentarze (20)