W moich notkach wielokrotnie powtarzam jak mantrę, że : „Wiedza nas chroni, ignoracja naraża na niebezpieczeństwa.” Oczywiście zawsze znajdą się tacy, którzy zaprotestują. Powiedzą: nie zawsze jest dobrze wiedzieć. Podadzą przykład jak to jeden taki za dużo wiedział i się przez to doigrał. Ja jednak na to, że wiedział za mało, bowiem nie wiedział, że swą wiedzą trzeba się dzielić mądrze, a nie chwalić się nią i paplać na lewo i na prawo bez umiaru.
Wspomniałem w poprzedniej notce, że ostatnio przyjeżdża do mnie na konsultacje w sprawach samo-dualności i algebry geometrycznej pewien inżynier, specjalista od kryptografii. By wytłumaczyć czym jest algebra geometryczna i wielowektory, muszę mu najpierw wytłumaczyć co to są wektory. No i tu powstał problem, bowiem on już się przedtem nauczył co to są wektory. Dla niego wektor to trójka liczb, zapisanych poziomo jako (x1,x2,x3), lub pionowo, jako kolumienka trzech liczb. Z takim rozumieniem wektora nigdy mu nie będę w stanie wytłumaczyć co to jest algebra geometryczna, algebra Grassmanna czy algebra Clifforda. Najpierw musi zapomnieć to czego się nauczył. Okazuje się jednak, że zapomnieć nie jest łatwo.
Wiem , że czytają mnie także licealiści. Próbuję więc pisać tak, by i oni mogli coś z tej mojej pisaniny skorzystać. Oni też muszą najpierw zapomnieć co to jest wektor. Odtąd wektor to jest element przestrzeni liniowej (nazywanej również przestrzenią wektorową). A co to jest przestrzeń liniowa? To jest to co jest zdefiniowane poniżej w ośmiu aksjomatach. I nic więcej.
Aksjomaty przestrzeni wektorej można znaleźć w dobrych podręcznikach algebry liniowej. Ja wziąłem te aksjomaty (przytaczając niemal dosłownie) z wykładów prof. Ryszarda Andruszkiewicza z algebry liniowej dla kierunków Informatyka i Ekonometria.
Z fotki na researchgate.com ławo widzimy, że zajmowanie się algnerą liniową daje duże zadowolenie.
Definicje poniżej zapożyczyłem z wykładu 5: Określenie przestrzeni liniowej.
Trochę przy tym pozmieniałem, by mi się bardziej spodobało, ale minimalnie. Oto zatem definicja. A pod definicją zadania do rozwiązania. Zadania te mają na celu sprawdzenie, czy dobrze zapomnieliśmy to co poprzednio o wektorach wiedzieliśmy.
W następnych notkach zajmę się natiomiast tym co z wektorami, tymi zapomnianymi i na nowo wyuczonymi, można robić.
Uwaga: Odwrócone A należy czytać "dla każdego", "dla każdych". Odwrócone E należy czytać "istnieje". Odwrócone E z wykrzyknikiem czytamy "istnieje dokładnie jeden/jedna"
A oto zadania (wzięte z książki Hlamos, Finite Dimensional Vector spaces, Springer 1993) do sprawdzenia czy dobrze zapomnieliśmy co to jest wektor?
Udowodnij, że jeśli x i y są wektorami, i jeśli α jest skalarem, zachodzą następujące relacje:
1. 0+x = x
2. -0=0.
3. α 0=0.
4. 0 x=0.
5. Jeśli α x = 0 to α=0 lub x=0.
6. -x=(-1)x.
7. y+(x-y)=x gdzie x-y oznacza x+(-y)
P.S. W dyskusji pod notką pojawiła się kwestia niezależności przytoczonego w notce zbioru ośmiu aksjomatów. Poniżej przytaczam fragment z artykułu J. F. Rigby and James Wiegold , "Independent Axioms for Vector Spaces ", The Mathematical Gazette, Vol. 57, No. 399 (Feb., 1973), pp. 56-62, gdzie układ aksjomatów jest zredukowany do sześciu
Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki.
Katalog SEO Katalog Stron
map counter
Życie jest religią.
Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem.
Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone.
Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić.
Dla tych ludzi świat zgaśnie.
Staną się dokładnie tym co dali życiu.
Staną się jedynie snem w "przeszłości".
Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości"
Lista wszystkich wpisów
Nowości od blogera
Inne tematy w dziale Technologie
