Samotnośc nawigacji na kosmicznym statku

Czasem bywa tak, że chciałoby się już dokądś pójść, ale okoliczności jeszcze na to nie pozwalają. Trzeba uzbroić się w cierpliwość i skrupulatnie, najlepiej jak można, wypełniać obowiązki, które na siebie wzięliśmy. I tak jest ze mną teraz. A obowiązki, które wypełniam nawet lubię. Dodają życiu uroku, dodają kolorów, uodparniają na możliwe przyszłe trudności.

I tak chciałbym pójść dalej z zasadą równoważności Einsteina, z układami jednostajnie przyśpieszanymi, ale nie mogę, bowiem mój oddany Czytelnik, Bjab, skarb prawdziwy, nie daje mi spokoju i zmusza do coraz pełniejszego rozumienia tego o czym piszę. Bowiem często tak bywa, że piszemy o rzeczach, których do końca nie rozumiemy. Między innymi po to piszemy by lepiej zrozumieć czego nie rozumiemy. Najlepiej się uczyć ucząc innych – każdy nauczyciel chyba o tym dobrze wie. Tak myślę. Ja przynajmniej o tym wiem.

Rzecz wypłynęła szczególnie jaskrawo w dyskusji pod poprzednią notką. “Most Einsteina-Rosena - osobliwe spotkanie rzeczywistości”, która była z kolei konsekwencją całej serii notek poprzednich – ich treści przypominał nie będę. Miast tego skoncentruję się na problemie poruszonym przez Bjaba. Wyjaśnię mój punkt widzenia, który w żadnej mierze oryginalny nie jest. Zainteresowany Czytelnik może zawsze zajrzeć do źródeł. Wymienie moje dwa podstawowe.

1) W. Rindler, Kruskal Space and the Uniformly Accelerated Frame, 1966, American Journal of Physics. 34 (12): 1174–1178, doi:10.1119/1.1972547.

2) C. Møller The Theory of Relativity, Oxford 1952, pp.255-258    

3) C.W. Misner, K.S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, Freeman 1999, pp. 172-174

Cała ta notka sprowadza się do omówienia  poniższego rysunku i paru wzorów. Oto rysunek:





Na rysunku widzimy kawałek przestrzeni Minkowskiego w inercjalnym układzie współrzędnych, gdzie ograniczyliśmy się do dwóch istotnych współrzędnych X i T. Przyjmujemy układ jednostek w którym prędkość światła c=1. X na osi poziomej, T na osi pionowej.  Hiperbola przedstawia czasoprzestrzenną linię świata obserwatorów w rakiecie kosmicznej napędzanej silnikiem zapewniającym stałe odczuwalne przysieszenie a. Hiperbola ta dana jest równaniami:

T (τ) = (1/a) sinh(aτ)
X(τ) = (1/a) cosh(aτ)

Obserwatorzy w rakiecie być może mają cały sznur poruszających się wraz z nią innych rakiet powiązanych nie pękającymi linami, jakby tego chciał Bjab, a być może są  pozostawieni samym sobie  i muszą sobie radzić jak mogą. W moim wyobrażeniu są sami. Mają dośc konformizmu, sprzeciwiają się zasadom zastanej rzeczywistości. Tacy samotni długodystansowcy. Muszą sobie radzić sami, podejmować decyzje na własną odpowiedzialność, nie oglądając się na innych. W szczególności muszą wymyślić sposób przypiywania współrzędnych zachodzącym w zewnętrznym świecie zdarzeniom. Takim jak  zdarzenie P na rysunku. Zdarzenie P ma współrzędne X,T w inercjalnym układzie wspólrzędnych związanym z Ziemią i z Układem Słonecznym, które nasi podróżnicy daleko za sobą zostawili. Zmierzają ku Centrum Galaktyki i nie spoczną póki tam nie dotrą – patrz notka “W 40 lat do centrum Galaktyki i z powrotem”

Nasi obserwatorzy maja swoje własne pojęcie o “jednoczesności”. Linie jednoczesnosności przechodzą przez początek układu współrzędnych. Było o tym w poprzednich notkach. Zdarzenie P  leży na jednej i tylko jednej takiej linii jednoczesności przecinającej linię świata statku, na rysunku w punkcie Q. Nasi obserwatorzy przypisują temu zdarzeniu współrzędną czasową równą czasowi własnemu τ odpowiadającemu punktowi Q. Z punktu Q , o współrzędnych (1/a cosh(aτ),1/a sinh (aτ)) wyprowadzamy czasoprzestrzenny wektor jednostkowy e wzdłuż linii jednoczesności. Wektor ten ma składowe (cosh(aτ),sinh (aτ). Za współrzędną x bierzemy liczbę przez którą trzeba pomnożyć e, by dodając do wektora wodzącego punktu Q dotrzeć do punktu P. Taką metodę obrali nasi podróżnicy. Jak to robią przy pomocy swoich pokładowych przyrządów? W to nie będziemy wchodzić. Tak czy siak rezultat można wyrazić wzorem

T = (1/a + x) sinh (aτ)
X = (1/a + x) cosh (aτ)

Metoda ta w sposób oczywisty nie działa dla a=0, kiedy to zamiast hiperboli mamy pionową oś czasu. Nie ma w tym nic specjalnie dziwnego.

W swojej pracy 1) Rindler rozważa nie samotny statek, ale pręt, na przykład taki jaki może być utworzony z połączonych linami i poruszających się z różnymi przyśpieszeniami statkami, jak to dyskutowaliśmy w poprzednich notkach, i jak tego by chciał Bjab. Jednak dodaje Rindler takie zdanie:

“The observers on the rod  can so synchronize their clocks that each sees all other clocks neither gain nor loss realative to his own; each obserwver nmust simply speed up his proper clock by a factor equal  to the reciprocal of his coordinate x”

Zdanie to jest dość mętne,  Rindler podaje jako wynik końcowy fromuły

T = x sinh (t)
X = x cosh (t)

Przy tym moja konwencja używania dużych i małych liter jest odwrotna niż u Rindlera.

Problem poruszony przez Bjaba nabrał teraz rumieńców. Jednak czy odpowiedziałem na pytania z poprzedniej notki? Tego nie wiem.