Jeszcze o powrotach i przyśpieszeniach

Sto lat temu, w kwietniu roku 1920, Alberta Einsteina odwiedził w Berlinie Niels Bohr. Niels Bohr, ten od atomu Bohra i od mechaniki kwantowej, odwiedził twórcę teorii względności, tej szczególnej i tej ogólnej. W Niemczech się wtedy ludziom nie przelewało, więc Bohr przywiózł ze sobą prezenty: ser i masło. Einstein przypadł mu do gustu mimo iż krytykował mechanikę kwantową. I Bohr przypadł do gustu Einsteinowi. W roku 1922 Bohr otrzymał nagrodę Nobla za mechanikę kwantową, zaś Einstein opóźnioną o rok nagrodę Nobla za efekt fotoelektryczny. Za teorię względności nagrody nie przyznano. Niemniej względność była przy nagrodach obecna. Czytam bowiem taką historyjkę (­“Einstein, His Life and Universe”, W. Isaacson, Simon & Schuster 2007):

Po wygłoszeniu swej mowy z okazji przyznania Nobla w Szwecji, w drodze do domu Einstein zatrzymał się w Kopenhadze by spotkać się ponownie z Bohrem. Ten wyszedł po Einsteina na stację by zawieźć go tramwajem do swego domu.

W drodze wywiązała się między nimi żywa dyskusja i  w rezultacie zajechali za daleko. Wysiedli i wsiedli do tramwaju jadącego w przeciwną stronę, jednak i tym razem wdali się w dyskusję i przejechali za daleko. I tak jeździli tam i z powrotem.  A tramwaje przyśpieszały i zwalniały. Jak kosmiczne statki w tych moich ostatnich notkach.

Teoria względności, a na razie zajmuję się tą szczególną, choć nie unikam ruchu przyśpieszonego charakterystycznego raczej dla ogólnej, otóż ta szczególna teoria względności prowadzi do dziwnych doprawdy efektów, przynajmniej na drodze teoretycznej. Jeden z nich, związany z zależnym od historii ruchu “upływem czasu”,   dyskutowałem w notce “W 40 lat do centrum Galaktyki i z powrotem”

Wcześniej pisałem o innym efekcie, gdy to dwa statki kosmiczne, wyposażone w jednakowe napędy i poruszające się dokładnie tak samo, tyle, że jeden za drugim, rozrywają linę je łączącą. Przyczyna tego rozerwania jest niejasna. Można nawet powiedzieć, że przyczyną jest niezgoda pomiędzy definicją jednoczesności pilotów jednego i drugiego statku.  Żeby same definicje czy też może same myśli mogły być przyczyną widocznego efektu fizycznego, tego chyba dotąd nie znano w fizyce. Poza fizyką tak bywa, ale w  fizyce?! Wrócę teraz do tych goniących się statków i pokażę jak teoretyczne obliczenia podpowiadają inżynierowi co i jak należy budować. Nie uwzględnienie relatywistycznych poprawek może doprowadzić do nieprzyjemnych skutków, nawet wtedy gdy inżynier wykonuje obliczenia skrupulatnie i rzetelnie. Jak tu:

Obliczenia bez poprawek relatywistycznych -  i ich wynik.

W notce „Szczególna teoria względności z rosnącym przyśpieszeniem” analizowaliśmy graf reprezentujący dwa identyczne statki kosmiczne:



Taka konstrukcja prowadzi do rozerwania więzi między statkami. Poprawna konstrukcja, nie tak znów oczywista, prowadzi do estetyczne przyjemniejszego grafu:

Mamy tym razem do czynienia z całą rodziną poruszających się jeden za drugim statków kosmicznych. Każdy ze stałym przyśpieszeniem własnym odczuwalnym, ale wartości tego przyśpieszenia są różne dla różnych statków. Zatem i odczuwany nacisk na podłogę, jest różny dla  pasażerów tych statków. Zresztą i na Ziemi nasz ciężar odczuwany może się wahać zależnie od sytuacji. Na przykład na fotce poniżej, przedstawioną asanę (coś w rodzaju Paschimottanasany) jest mi łatwiej wykonywać pod zwiększonym naciskiem:

Na tej zaś fotce, przedwczoraj zrobionej, wypróbowywuję grawitację zmniejszoną wyporem wody:

W przeciwieństwei do kota mój skok zakończył się sukcesem!

W przypadku rodziny statków kosmicznych przedstawionych powyżej a opisanych jedną wspólną formułą:

X0 (τ) =cT = (1/a) sinh(aτ)  
X1 (τ) =(1/a)  cosh(aτ)

linie jednoczesności różnych statków się pokrywają – wszystkie przechodzą przez początek układu współrzędnych. Hiperbole przedstawiające linie świata różnych statków różnią się wartością stałej a (przyśpieszenie własne odczuwalne) i są oddalone od początku układu współrzędnych o 1/a.

Pojawia się teraz problem do rozwiązania. Zadanie domowe:

Pokazać że czasoprzestrzenny interwał wzdłuż linii jednoczesności, łączący dowolne dwie wybrane hiperbole z naszej rodziny, jest staly w czasie.

Sam nie wiem jeszcze jak to zadanie zrobić, więc je tutaj stawiam i czekam na sugestie. W przyśpieszonym tempie.

P.S. Zadanie rw końcu sobie ozwiązałem. Oto moje zadowolenie po rozwiązaniu: