A lata lecą - według szczególnej teorii względności

Wystąpią w tej notce Bob i Alicja? Kto to tacy? Przytoczę najpierw opis z Wikipedii:

Alicja i Bob – aliasy dla archetypów w takich dziedzinach jak kryptologia i fizyka. Nazwy te są używane dla wygody, gdyż wyjaśnienia typu „Osoba A chce wysłać wiadomość do osoby B” mogą być zbyt trudne do śledzenia w złożonych systemach zawierających wiele poziomów.

W naszym przypadku będą Bob i Alicja, będzie fizyka. Kryptologii nie będzie, chyba, że ktoś zechce się dopatrywać zaszyfrowanego podtekstu w niniejszej notce. Zapewniam jednak, ze takiego nie ma. Dziś o 17-tej odbywa się telekonferencja  na temat „Nature of time – online seminar” organizowana przez  Jarka Dudę z UJ. Dzisiejszy wykład ma Richard Gill, temat seminarium:  "Some thoughts on Bell’s theorem and on Bell denialism"

Pojawia się tam m.in. takie zdanie: „Locality = Alice’s outcomes don’t depend on Bob’s settings and  vice-versa”. Tak trafili do mojej notki Bob  i Alicja. Dotychczas zazwyczaj podróżowali osobno, jak tu:

Jednak los dał im teraz inne zadanie. Zainteresowało ich przyśpieszenie, krzywizna i grawitacja, jak tu

Narzeczonego zaś dodałem z własnej inicjatywy, żeby nie było iż Bob i Alicja podczas 40 lat wspólnej podróży na statku kosmicznym robią cokolwiek innego poza niestrudzonymi badaniami głębokiego kosmosu,  i dyskutowaniem rodzącej się właśnie technologii podróży w czasie.

A teraz do rzeczy. Temat do dzisiejszej notki zapożyczyłem z monografii W. D. Curtis, F.R. Miller, „Differential Manifolds and Theoretical Physics”, ostatnio próbowała ją studiować kotka Pikabu.

Jest tam postawiony, w podrozdziale „Accelerated Motion – A Space Odyssey”, str. 229-232, problem, który dziś przedstawię, bowiem pasuje idealnie jako przerywnik w mojej aktualnej serii notek. W książce problem jest postawiony i rozwiązany. A ja to teraz zreferuję w mojej własnej wersji.

Historia zaś przedstawia się tak: Bob i Alicja ruszają w kosmos by wspólnie badać niezbadane głębie. W oryginale brzmi to tak: „A rocket leaves the earth on a mission to explore deep space”. To „Deep space" pzwoliłem sobie przetłumaczyć jako „niezbadane głębie”. A statek wysposażyłem w załogę: to Bob i Alicja. Statek kosmiczny porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym tak, że pojawia się tam sztuczna grawitacja wywołana stałym przyśpieszeniem równym ziemskiemu:

a = g = 9.8 m/s².

Przez 10 lat rakieta przyśpiesza oddalajac się od Ziemi, stale w tę samą stronę. Następnie wlącza się hamowanie. Z tym samym co do wartości przyśpieszeniem. Na statku zatem góra zamienia się miejscami z dołem. Po kolejnych 10 latach statek zwalnia do prędkości zero, na chwilę się zatrzymuje, a następnie wraca na Ziemię tą samą metodą: 10 lat przyśpieszanie, 10 lat hamowanie. Te „lata” to lata własne. O tyle lat Bob i Alicja wracają na Ziemię starsi. Tyle lat wspólnie na statku spędzili, tyle lat poświęcili na badania i na dyskusje.

Pytanie jest takie: Alicja pozostawiła na Ziemi narzeczonego. W jakim będzie on wieku gdy Alicja wróci z wyprawy na Ziemię?

Kto słyszła już o „paradoksie bliźniąt” domyśla się zapewne, że narzeczony stanie się od Alicji znacznie starszy (nawet jeśli przedtem był młodszy). Ale O ILE STARSZY?

Miast wysyłać rakiety i ludzi, miast badać doświadczalnie, możemy całą rzecz zasymulować, możemy odpowiedź znaleźć przy pomocy matematyki. Co niniejszym zrobimy.  

Ruch jednostajnie przyśpieszony, ten o jaki tu konkretnie chodzi, opisałem formułami w notce o paradoksie Bella „Szczególna teoria względności z rosnącym przyśpieszeniem”, a także w notkach wczesniejszych.  Zakładając (w naszym przypadku w przybliżeniu można takie założenie przyjąć), że  z Ziemią można związać układ inercjalny, ruch jednostajnie przyśpieszony naszego statku kosmicznego opisywany jest równaniami

X⁰ = cT = (1/a) sinh(aτ)  
X¹ = (1/a)  cosh(aτ) – (1/a)

W formule na X¹ odjąłem 1/a tak by dla τ=0 nasz statek znajdował się w początku układu współrzędnych.

Parametr τ to „czas własny”, u nas mierzony w metrach. By dopasować dane z zadania do naszych równań musimy zamienić lata na metry używając do tego celu wartości prędkości światła:

c = 3 x 10 ⁸ m/s

Rok to 31536000 sekund. 10 lat to 315360000 sekund, a to jest

315360000 s x 3x10 ⁸ m/s = 9.46 x 10 ¹⁶ m.

Przyśpieszenie ziemskie wynoszące g= 9.8 m/s² musimy wyrazić w odrotnościach metra dzieląc przez c². Otrzymamy

a=1.09 x 10^-16 m^-1

Stąd  aτ = 1.09 x 10^-16 m^-1 x 9.46 x 10 ¹⁶ m = 10.3

Teraz

(1/a) sinh (10.3) = 14866/ 1.09 10^-16 = 1.36x10²⁰ m

Co jest równe 14 376 lat. Całą podróż składa się z czterech odcinków tej samej długości, zatem wiek narzeczonego po powrocie statku będzie powiększony o

Delta N = 4 x 14376 = 57504 lat.

Będzie to zatem już pan poważny,  w starszym wieku i z dużym doświadczeniem. Ksiązka zaokrągla inaczej i podaje wiek nieco leciwszy, mianowicie 57,600 lat. Ta drobna różnica tylko 96 lat nie powinna jednak dla Alicji mieć większego znaczenia. Jest wszak wiosna