Ruch jednostajnie przyśpieszony - nie tylko Einstein się myli

Pomyliłem się i ja. Nawet ci najwięksi pośród największych bywa, że robią błędy. Zazwyczaj zdarza się to wtedy gdy ktoś liczy na jedno, a okazuje się, że zamiast tego jest drugie. W poprzedniej notce, Szczególna teoria względności z rosnącym przyśpieszeniem, jak to Bjab zauważył, pomieszałem czerwone z niebieskim. Chcąc uniknąć podobnych wpadek w przyszłości, złożyłem wizytę w witrynie z testem na rozpoznawanie kolorów:‌

Wyszło mi, że mam wadę nazywaną uczenie “Deutan”, ślepotę na czerwone-zielone. I to poważną

Jednak ślepota na czerwone-zielone nie tłumaczy mojego pomieszania czerwonego z niebieskim. Przypomnę grafik z poprzedniej notki:

oraz uwagi Bjaba dotyczące moich błędów (wspomniane w tych uwagach wzory można znaleźć w tej poprzedniej notce).:

Bjab
30 marca 2020, 22:42

@Arkadiusz Jadczyk
Widzi mi się, że wzory (1) i (2) dotyczą niebieskiej a nie czerwonej hiperboli (z uwagi na asymptotę przechodzącą przez origin).

Widzi mi się, że wzory (3) i (4) powinny być na czerwono (a w (4) zamiast -L powinno być plus L).

"Są to linie jednoczesności obserwatora związanego ze statkiem liderem." ->
(raczej) goniącym.

(5) , (6) i następne są złe z uwagi na zamianę sinh z cosh.

Idzie tu więc ewidentnie o coś więcej niż zwykłą moją ślepotę na kolory. Pomyliłem ściganego ze ściganym. Przez takie pomyłki można czasem ucirpieć fizycznie. Jak na tym gif-filmie:

Kliknij tutaj by obejrzeć kocia przygodę:

Kicia najwyraźniej przyzwyczaiła się do tego, że stół ma szklany blat. Liczyła nań. I się przeliczyła. Jednak przyjęła postawę prawdziwego badacza, i po niepowodzeniu upewniła się, że blatu już tam nie ma. Natępnym razem tego błędu już nie popełni.

Tak i ja. Pomyliłem się i teraz pomyłki poprawiam. Może na pocieszenie mam to, że Einstein też się mylił, niejeden raz i poważnie

Einstein made his share of errors. Here are three of the biggest

Żarty-żartami, ale teraz następuje analiza moich błędów i ich naprawa. Błędy moje, niby błędy, ale nie takie znów fatalnie błędne, wzięły się stąd, że obrazek z czerwoną i niebieską linią ( linie te obrazują linie świata dwóch identycznych statków kosmicznych) wziąłem z witryny Johna Baeza (nie mylić z jego kuzynką Joan Baez, tą od Will The Circle Be Unbroken i innych smakołyków), obrazek wziąłem, ale przeczytać dokładnie tekstu opisującego co jest na tym obrazku już mi się nie chciało. Pomyślałem, że jestem dostatecznie mądry by dojść do tego co jest na obrazku bez wczytywania się. No i wynikiem było to, że mój opis tego co jest na obrazku rozmijał się z tym co jego autor, John Baez, chciał tam przedstawić. I wyszło co wyszło. Bywa. Lecz nie wyszło tragicznie. Nie będę zatem wracał do poprzedniej notki, nie będę jej poprawiał. To już zeszłoroczny śnieg. Miast tego opiszę jak powstał mój własny obrazek inspirowany obrazkiem Johna Baeza, taka moja maleńka rapsodia na temat Bell's Spaceship Paradox Johna Baeza

Podoba mi się ta pianistka, blondynka, długowłosa, i w dodatku gra z wyczuciem i uczuciem. Już kiedyś ją zresztą chwaliłem.

Oto więc mój własny obrazek.

Opiszę co na nim widać i co z tego wynika. A wynika, że lina łącząca te dwa statki jednak, wcześniej czy później, raczej się rozerwie. Choć tak na całe 100% przekonany o tym nie jestem. John Baez zdaje się też, bowiem zauważa, że to czy lina pęknie czy nie “depends on all sorts of details”.

Bez względu jednak na to czy lina trzaśnie czy nie, jedno jest pewne: choć obydwa statki w każdej chwili poruszają się z tą samą prędkością, to odległość pomiędzy nimi stale się zwiększa!
Oto jak ten mój obrazek (ta moja wariacja na temat...) powstał, co na nim jest, i co z tego wynika.

Linia czerwona przedstawia linię świata statku kosmicznego lidera. Porusza się on ze stałym przyśpieszeniem (własnym, odczuwalnym) a=1, i jego linia świata opisywana jest (w inercjalnym układzie udniesiemia, we współrzędnych X⁰=cT ,X¹, przy c=1) równaniami:

X⁰(τ ) = sinh(τ )
X¹(τ ) = cosh(τ)

Parametr τ można utożsamić z czasem własnym. Prędkość staku kosmicznego rośnie od zera w chwili startu w punkcie X¹=1 (jeden kilometr) w chwili T=0, zmierzając asymptotycznie do prędkości światła (kąt 45 stopni na rysunku).

Linia niebieska to historia identycznego statku, startującego jednocześnie z czerwonym, zawsze lecącego z tą samą prędkością i przyśpieszeniem (w naszym inercjalnym układzie odniesienia) co czerwony. Statek niebieski startuje za czerwonym w tym samym kierunku – w dodatnim kierunku na osi X, tyle, że startuje o L = 0.5 kilometra za tym pierwszym czerwonym. Historia niebieskiego statku opisana jest równaniami

X⁰(τ ) = sinh(τ )
X¹(τ ) = cosh(τ) – L

Czterowektor prędkości (patrz uwagi w poprzedniej notce) jest dla obu statków ten sam

u⁰ = cosh(τ)
u¹= sinh(τ)

Podobnie jak czterowektor przyśpieszenia

w⁰ = sinh(τ)
w¹ = cosh(τ)

Wektor (cztero)prędkości jest, w kazdym punkcie, styczny do linii świata. Jego kierunek wyznacza kierunek osi czasu w inercjalnym układzie w którym nasz poruszający się obiekt chwilowo spoczywa.

Oś przestrzenna, linia stałego czasu, linia jednoczesności, jest zawsze prostopadła (w sensie Minkowskiego) do osi czasu. Tak się składa, że w naszym przypadku chwilowy (cztero)wektor przyśpieszenia jest zawsze prostopadły do chwilowej (cztero)prędkości, zatem do chwilowego kierunku osi czasu. Zatem (cztero)wektor przyśpieszenia wyznacza nam, w każdej chwili, linię jednoczesności poruszającego się obiektu.

Wybrałem punkt Q na czerwonej linii odpowiadający czasowi własnemu τ = 1. Ma składowe

X⁰= sinh(1) = 1.1752, X¹ = cosh(1) = 1.54308

Są to jedocześnie składowe wektora przśpieszenia w. Mając punkt i kierunek rysujemy linę wychodzącą z tego punktu w kierunku danego wektora rysując prostą p(t) parametrycznie, używając parametru t

p(t) = Q + t w

W naszym przypadku tak się składa, że w jest dane tą samą formuła co Q, zatem w samej rzeczy rysujemy prostą
p(t) = Q+tQ

Dla t=0 jesteśmy w punkcie Q, dla t=-1 jesteśmy w początku układu współrzędnych. Ten fakt nie zależy od tego w jakim punkcie czerwonej krzywej jesteśmy. Stąd wniosek:

Linie jednoczesności obserwatora związanego z czerwonym statkiem wszystkie przechodzą przez początek układu współrzędnych.

Tak właśnie powstały czerwone linie przerywane QP i BA. Punkt B odpowiada
τ = 0.5 i ma współrzędne

X⁰= sinh(0.5) = 0.521095
X¹= cosh(0.5) = 1.12763

Można numerycznie znaleźć punkty na krzywej czerwonej w których te linie jednoczesności statku niebieskiego spotykają się z linią świata statku niebieskiego.

Uwaga: wszystkie współrzędne poniżej są podawane w kolejności X¹,X⁰ Pamiętajmy o tym, że oś X⁰ jest na obrazkach pionowa, zaś oś X1 pozioma

Punkt P ma współrzędne (0.599208,0.456353), zaś punkt Q ma współrzędne (1.54308,1.1752), zatem

Q-P =(0.943873, 0.718848)

Odlagłość do statku niebieskiego oceniana przez statek czerwony to odległość Minkowskiego

d(Q,P) = √ (0.943873²-0.718848²) = 0.611681

Podobnie otrzymamy

d(B,A) = 0.530428

Widzimy więc, że obserwator w statku czerwonym ocenia, że statek niebieski się od niego oddala. W chwili τ =0 ta odległość wynosiła 0.5, potem, w chwili τ =0.5, wzrosła do 0.530428, a w τ = 1 wynosiła już 0.611681. Te “chwile” to czas własny, obserwowany na zegarku marki Zenith przez kosmonautę na statku czerwonym:

Skoro ta odległość stale wzrasta, to lina łącząca obydwa statki kosmiczne najprawdopodobniej w pewnej chwili trzaśnie.

Dochodzi do tego jeszcze jedna nieprzyjemność. Hiperbola niebieska powstała przez proste przesunięcie hiperboli czerwonej w lewo o 0.5. Linie jednoczesności statku czerwonego zbiegają się w punkcie o współrzędnych (0,0) , zatem linie jednoczesności statku niebieskiego będą się zbiegać w punkcie o współrzędnych X¹ = -0.5, X⁰=0. Na moim rysunku narysowana jest taka linia, przerywana niebieska, dobrana tak, by przechodziła przez punkt Q. Dla obserwatora czerwonego równoczesne ze zdarzeniem Q jest zdarzenia P. Natomiast dla obserwatora niebieskiego jednoczesne ze zdarzeniem Q jest zdarzenie C, późniejsze niż P.

Obserwatorzy na obydwu statkach nie mogą dojść do porozumienia, dochodzi do kłótni i wyzwisk. Z takiej mąki chleba nie będzie. Nić ich łącząca wcześniej czy później pęknie (w chwili gdy to piszę, donoszą mi, że wielki huk się właśnie rozległ i strzępy nici latają po całym kosmosie).

Powstaje pytanie: czy taki kosmiczny związek pomiędzy dwoma jednostajnie przyśpieszanymi statkami jest możliwy? Tak by obserwatorzy na różnych statkach zawsze byli w zgodzie, i by nić ich łącząca nie podlegała stresom? By różne statki mogły stanowić stabilną całość, stabilny układa odniesienia? Nieinercjalny co prawda, ale trwały? Odpowiedź brzmi: tak. Ale o tym w następnych notkach.