Teoria względności i wiecznej młodości

Od czasu do czasu, gdy jesteśmy (ja i kot Pikabu) zmęczeni studiowaniem fizyki i matematyki z grubaśnych ksiąg, jak ta

zabieramy się za literaturę lżejszą, jak ta

Oscar Hartmann “Działaj prosto! Po prostu działaj!” Oskar Hartmann to przede wszystkim przędsiębiorca, założyciel KupiVID i dziesiątek innych przedsiębiorstw, ale jego książka jest wielce  pożyteczna także dla mnie.

Pisze o tym jak ważne jest “działanie”, a jako fizyk to wiem doskonale, mamy bowiem kwant działania – podstawę teorii kwantów!

Książka Oskara Hartmanna zaczyna się tak:

Важнейшее умение — задавать правильные вопросы.

В мире, где в любом телефоне есть вся необходимая человеку информация, качество нашей жизни зависит только от качества  вопросов,  которые  мы  задаем.  Какие  вопросы  мы
задаем, такие ответы и находим.

Najważniejsza umiejętność – to umiejętność zadawania właściwych pytań.

W świecie, w którym każdy telefon zapewnia dostęp do wszelkiej potrzebnej człowiekowi informacji, jakość naszego życia zależy wyłącznie od jakości zadawanych przez nas pytań. Jakie zadajemy pytania, takie otrzymujemy odpowiedzi.

Ta ważna myśl jest powtarzana potem w głównej treści książki. A czemu o tym wspominam? Otóż w dyskusji pod poprzednią notką jeden z Czytelników zadał szereg pytań.


Oto one:

Co to jest układ w ruchu jednostajnie przyspieszonym?
Co to jest ruch jednostajnie przyspieszony?
(Wiem, że ruch jednostajny prostoliniowy to taki, w którym prędkość (wektor) jest stała/y.)
(Wiem, że ruch jednostajny to taki, w którym szybkość (skalar) jest stała/y.)

Czy zatem ruch jednostajnie przyspieszony to taki, w którym moduł (wektora) przyspieszenia jest stały, czy raczej (więcej), wektor przyspieszenia jest stały?

Co to jest przyspieszenie? Czy to jest druga pochodna położenia po czasie czy raczej po czasie własnym?

Czy układ w ruchu jednostajnie przyspieszonym to taki, w którym wszystkie punkty układu mają to samo przyspieszenie (czyli układ się rozszerza) czy raczej tylko jeden punkt (jedna płaszczyzna układu) porusza się z pewnym stałym przyspieszeniem a reszta punktów zachowuje się zgodnie ze wzorem na skrócenie Lorentza?

Są to pytania wysokiej jakości. Według Hartmanna zależy od nich jakość naszego życia. Nie ma rady, muszę się zabrać za szukanie na te pytania odpowiedzi. A gdy sam takową znajdę, muszę się tym co znalazłem podzielić. Więc zaczynam. Dziś tylko zaczynam ...

W pytaniach pojawił się zwrot “moduł wektora”. Zacznę od wyjaśnienia tego pojęcia. W geometrii euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej przez moduł wektora rozumiemy po prostu jego długość. Matematycznie jest to pierwiastek z sumy kwadratów składowych tego wektora. Tutaj jednak pytanie o “moduł wektora” padło w kontekście szczególnej teorii względności. Trójwymiarową przestrzeń Euklidesa zastępuje tu czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego. Przez “moduł wektora” rozumiemy tu co innego. By uniknąć nieporozumień często mówimy “cztero-wektora”. Punktami czasoprzestrzeni Minkowskiego są “zdarzenia”.  Zazwyczaj wyróżnia się jedno z nich, “O”, stanowiące punkt odniesienia – początek układu współrzędnych. Z każdym obserwatorem inercjalnym związany jest układ współrzędnych, zazwyczaj wprowadzamy współrzędne X⁰=cT, X¹,X²,X³. Jeśli mamy drugi inercjalny układ odniesienia (mówimy też: drugiego inercjalnego obserwatora), X'⁰=cT', X'¹,X'²,X'³. i jeśli oba mają wspólne zdarzenie początkowe O, wtedy jeden porusza się względem drugiego ze stałą prędkością w stałym kierunku, i związek pomiędzy nimi dany jest przez transformację Lorentza. Zakładając, że ruch jednego względem drugiego odbywa się wzdłuż osi x, transformacja ta ma postac (Opuszczamy w dalszym ciągu współrzędne X² i X³, ponieważ nie odgrywają w tej naszej dyskusji żadnej roli. )

Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem może mieć znak zarówno dodatni jak i ujemny. Jest równe zeru gdy dX/dT = c (lub -c), to znaczy, gdy wektor prędkości dX/dT skierowany jest wzdłuż trajektorii promienia świetlnego.

Jedna z najważniejszych hipotez szczególnej teorii względności brzmi:

Wielkość s wsystępująca w wyrażeniu na ds to czas własny.  Dokładniej

Oto obrazek wzięty z angielskiej Wikipedii, z hasła "twin paradox":

Weźmy dla przykładu zdarzenia A i B na diagramie. W układzie inercjalnym we współrzędnych x,t jak na diagramie, zdarzenie A zachodzi w chwili t₁=0 w punkcie x=0, zdarzenie B zachodzi w jakiejś chwili  t₂, w tym samym punkcie. Zegar pomiędzy tymi zdarzeniami nie rusza się, spoczywa w punkcie x=0. Jedynie czas na nim płynie. Za parametr możemy wziąć współrzędną czasową  T. Wtedy dX/dT=0, dT/dT=1, mamy całkę ze stałej i czas własny pokrywa się z czasem laboratoryjnym.

Gdy jednak wybierzemy drogę z A do C i z C do B, czyli wsiadamy do pociągu, jedziemy ze stałą prędkością,  przeskakujemy do pociągu jadącego w przeciwną stronę, i wracamy do punktu wyjścia, wtedy całka da wynik mniejszy niż poprzednio. Wrócimy młodsi od tych, którzy pociągami nie jeżdżą. Gdy w szczególności punkt C będzie taki, że kąt ACB będzie dwa razy po 45 stopni, wtedy z A do C i z C do B podróżujemy z prędkością światła, i po powrocie na naszym zegarze nie upłynęła ani sekunda, podcza gdy ci którzy siedzieli w domu się zestarzeli. Nazywa się to czasem paradoksem bliźniąt. W samej rzeczy nie ma tu żadnego paradoksu. Jest po prostu zjawisko fizyczne (a może i metafizyczne). Nie chcemy się starzeć? Chcemy wiecznie być młodzi? Podróżujmy,  dużo i szybko, choćby i w myślach i w marzeniach.

Oczywiście można się też z tego zjawiska naśmiewać:

Ale lepiej działać. Choćby i powoli.

Zaczęliśmy od pytań od pytań o przyśpieszenie a skończyliśmy na “paradoksie bliźniąt”, na żadne z zadanych pytań nie odpowiadając. Jednak w tym szaleństwie jest metoda. Rzecz bowiem w tym by wszystko robić prosto. A to wymaga czasu i cierpliwości. Do odpowiedzi na pytania z początku notki przejdziemy w następnej notce.